10) Однородные системы линейных уравнений

СЛАУ называется однородной, если все её свободные члены равны 0.

Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Доказательство По теореме Крамера тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда(т.е. решений системы бесконечное множество).

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

векторов (если):

, …,.

Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицуиз их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нулястолбцов матрицылинейно независимы.

Следовательно, вектора – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

Условие нетривиальной совместности:

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли— критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.