14.Смешанное произведение векторов

Сме́шанное произведе́ние векторов— скалярное произведение векторана векторное произведение векторови:

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови:

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови, взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда образованного векторамии; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.