8)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Численные методы решения СЛАУ

В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.

Пусть дана СЛАУ

Запишем расширенную матрицу системы:

На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный элемент (если он равен 0, то первую строку переставляем с какой-либо нижележащей строкой) и объявляем его ведущим, а соответствующую строку и столбец, на пересечении которых он стоит - ведущими. Обнулим элементыведущего столбца. Для этого сформируем числа. Умножая ведущую строку на число, складывая со второй и ставя результат на место второй строки, получим вместо элементануль, а вместо элементов,– соответственно элементы,и т.д. Умножая ведущую строку на число, складывая с n-ой строкой и ставя результат на место n-ой строки, получим вместо элементануль, а остальные элементы этой строки будут иметь вид:. Сохраняя ведущую строку неизменной, получим в результате 1-го шага алгоритма Гаусса следующую матрицу:

На втором шаге алгоритма Гаусса в качестве ведущего элемента выбирается элемент (если он равен нулю, то вторую строку взаимно меняем на нижележащую строку). Формируются числа, которые ставятся около ведущей строки. Умножая ведущую строку на числои складывая результат с третьей строкой, получим вместо элементануль, а вместо элементов,,– элементы,,. И так далее. Умножая ведущую строку на число, складывая результат с n-ой строкой и ставя полученную сумму на место n-ой строки, получим вместо элементануль, а вместо элементов,,- элементы,. Сохраняя 1-ую и 2-ую строки матрицы неизменными, получим в результате второго шага алгоритма Гаусса следующую матрицу:

После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расширенную матрицу, содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ:

Прямой ход алгоритма Гаусса завершен.

В обратном ходе алгоритма Гаусса из последнего уравнения сразу определяется , из предпоследнего -и т.д. Из первого уравнения определяется.

Замечание 1. Если элементы какой-либо строки матрицы системы в результате преобразований стали равными нулю, а правая часть не равна нулю, то СЛАУ несовместна, поскольку не выполняются условия теоремы Кронекера-Капелли.

Замечание 2. Если элементы какой-либо строки матрицы системы и правая часть в результате преобразований стали равными нулю, то СЛАУ совместна, но имеет бесконечное множество решений, получающееся с помощью метода Гаусса для СЛАУ порядка , где- ранг матрицы исходной СЛАУ.

Замечание 3. В результате прямого хода метода Гаусса можно вычислить определитель матрицы исходной СЛАУ:

При этом с помощью множителя , где- число перестановок строк в процессе прямого хода, учитываются соответствующие перемены знаков вследствие перестановок строк.

Замечание 4. Метод Гаусса можно применить для обращения невырожденной () матрицы.

Действительно, пусть требуется обратить невырожденную матрицу ,. Тогда, сделав обозначение,,, можно выписать матричное уравнение, где- единичная матрица, на основе которого можно записать цепочку СЛАУ

,, …,

каждую из которых можно решить методом Гаусса. При этом, поскольку верхняя треугольная матрица для всех этих СЛАУ будет одной и то же, то метод Гаусса применяется один раз. Строится следующая расширенная матрица:

В результате применения -го шага метода Гаусса получаем:

При этом первый столбец обратной матрицы определяется в обратном ходе метода Гаусса с правой частью, столбец- с правой частьюи так далее. Столбецопределяется с правой частью.