35. Теорема Лопиталя

Если функции иобладают следующим набором условий:

или;

;

в некоторой окрестности точки,

тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции итолько в правой проколотой полуокрестности точки, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть. Возьмём некоторыйиз рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезкутеорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремленииксправа, это отношение можно записать как, где— O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезкаи применим теорему Коши ко всемиз отрезка:

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так каки— константы, аистремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен, где— бесконечно малая функция при стремленииксправа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение, что и в определении для:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и. По любому данномуможно найти такое, чтобы модуль разности отношения функций ибыл меньше, значит, предел отношения функций действительно равен.

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать; первый множитель правой части будет больше 1/2 при, достаточно близких к, а тогда.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.