23.Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом называется предел
Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен
Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела ии докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний пределтакже будет равняться 1.
Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы). В тригонометрическом круге (радиуса) с центромпостроим центральный угол, равный, и проведём вертикальную касательную в точкепересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклонас окружностью буквой, а с вертикальной касательной -- буквой; черезобозначим проекцию точкина горизонтальную ось.
Пусть-- площадь треугольника,-- площадь кругового сектора, а-- площадь треугольника. Тогда очевидно следующее неравенство:
Заметим, что горизонтальная координата точки равна, а вертикальная --(это высота треугольника), так что. Площадь центрального сектора круга радиусас центральным угломравна, так что. Из треугольниканаходим, что. ПоэтомуНеравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
или (умножив на ) так:
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при пределв левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней частитакже будет равен 1.
Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что, так какравняется длине дуги окружности, которая, очевидно, длиннее хорды. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству
при , получаем, что
| (2.3) |
Простая замена переменной показывает, что и. Теперь заметим, что. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
| (2.4) |
Тем самым показано, что
Сделаем теперь замену ; при этом базаперейдёт в базу(что означает, что если, то). Значит,но(-- нечётная функция), и поэтому
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.
Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:
Рис.2.28.График
- Экзамен по матану
- 1) Частные виды матриц.
- 2) Определители. Правила вычисления
- 3) Свойства определителей
- 4) Обратная матрица, вычисление, приложение.
- 5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
- 6) Теорема Кронекера – Капели
- 7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.
- 8)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 9) Решение неопределённых систем линейных уравнений.
- 10) Однородные системы линейных уравнений
- 11. Векторы. Линейные операции над векторами
- 12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.
- 13. Векторное произведение векторов
- 14.Смешанное произведение векторов
- 15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.
- 16.Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
- 17.Общее уравнение плоскости вывод исследование
- 18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.
- 19.Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве
- 20.Цилиндрические и канонические поверхности
- 21. Теорема о разности между переменной и её пределом ( Основная т. О пределах)
- 22.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых величин
- 23.Первый замечательный предел
- 24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных
- 25.Точки разрыва и их классификации
- 26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.
- 27.Вывод производных тригонометрических функций sincostgctg
- 28 Производная обратной функции
- 29.Вывод производной и логарифмический показатель функции (axиlogax)
- 31. Производная неявной функции. Производная функции заданной параметрически.
- 32.Теорема ферма
- 33.Теорема Роля
- 34.Теорема Коши
- 35. Теорема Лопиталя
- 36. Раскрытие неопределённости вида 0*∞, ∞-∞, 1∞
- 37. Условие монотонности. Необходимое условие экстремума.