18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

px - парабола.

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:.

Эллипс, заданный каноническим уравнением:

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки ,,,называются его вершинами.

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

Число ()

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а прион вырождается в отрезок длиною).

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и ,.

Гипербола – геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и- вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число , ()

называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением : ( или),

называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и- вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ().

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

Парабола имеет фокуси директрису.

Парабола имеет фокуси директрису.

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.