24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных

Пусть и– бесконечно малые функции при. Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то иназываются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, чтоиявляются эквивалентными бесконечно малыми прии записывают это утверждение в виде

Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению сприа функцияимеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, еслиипредставляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, чтоявляется бесконечно малой n-го порядка по сравнению с. Например, функцияявляется бесконечно малой 4-го порядка по сравнению спри x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малыеикак бы меняются своими ролями. В этом случае функцияявляется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению спри. Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

Если и– эквивалентные бесконечно малых прито их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. Действительно,

Для записи такого утверждения используется выражение

Бесконечно малые иявляются эквивалентными, еслииявляются бесконечно малыми одного и того же порядка. Если– бесконечно малая более высокого порядка по сравнению сприто