17.Общее уравнение плоскости вывод исследование

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением видапри некотором наборе чисел A, B, C и D.

Теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнениеи нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнениемпри некотором выборе чисел А, В, С и D.

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению, то есть, справедливо равенство. Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения, при этом получим уравнение видаэквивалентное исходному уравнению. Теперь, если мы докажем, что уравнениеопределяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнениетакже определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторови. Иными словами, координаты плавающей точкиудовлетворяют уравнениютогда и только тогда, когда перпендикулярны векторыи. Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство, то множество точекопределяет плоскость, нормальным вектором которой является, причем эта плоскость проходит через точку. Другими словами, уравнениеопределяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнениеопределяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является. Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида.

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторыибудут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:. Приняв, уравнение примет вид. Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.