16.Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если- некоторая точка прямой a и- направляющий вектор прямой a.

Пусть - плавающая точка прямой a. Тогда векторявляется направляющим вектором прямой a и имеет координаты. Очевидно, что множество всех точекна плоскости определяют прямую, проходящую через точкуи имеющую направляющий вектортогда и только тогда, когда векторыиколлинеарные.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и:. Последнее равенство в координатной форме имеет вид.

Если и, то мы можем записать

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнениетакже называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точкуи имеющую направляющий вектор.

Параметрическим уравнением прямой являеться:

,, (7)

где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

Пусть произвольная точка . Тогда векторыиявляются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число, что. Из равенства векторовиследует равенство их координат:

,,, ч.т.д.

Обратно, пусть точка . Тогдаи по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е.и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнениями прямой:

. (8)

Доказательство. Выразив параметр t из уравнений (7), получаем:

,,, (9)

откуда и следуют уравнения (8). Ясно, что системы уравнений (7) и (8) равносильны, т.е. их множества решений совпадают и система (8), так же как и система (7), являются уравнениями прямой, ч.т.д.