12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и:где- угол между векторамии; еслилибо, тоИз определения скалярного произведения следует, чтогде, например,есть величина проекции векторана направление вектора.

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

Угол между векторами:

Оценка угла между векторами: в формулезнак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором:,

условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторови:

Площадь параллелограмма, натянутого на два вектораи, равна

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами