Lektsii_po_GA_1_semestr_PI

Ранги матрицы.

Для матрицы можно дать три определения ранга:

Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
Строчечный ранг - ранг системы строк.
Минорный ранг - Порядок наибольшего (по размеру) отличного от нуля минора.

Теорема 7.46. Все ранги равны.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать равенство столбцового и минорного рангов. Действительно, при транспонировании матрицы минорный ранг не меняется, а столбцовый ранг становится строчечным.

Первое доказательство. Воспользуемся критерием линейной независимости (Теорема 7 .44).

Второе доказательство. Пусть максимальный по порядку не нулевой минор расположен на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами из . Система линейных уравнений , где является крамеровской и, значит, имеет единственное решение, которое равно . Для выполняется равенство , при s=1,…,n. Пусть , . Рассмотрим минор . Вычтем из последнего столбца остальные столбцы с коэффициентами и разложим по последнему столбцу. В результате получим (все миноры порядка больше k равны 0). Поскольку , то равенство выполняется при . Таким образом, все столбцы линейно выражаются через столбцы с номерами из множества . Система уравнений имеет единственное нулевое решение, следовательно, столбцы матрицы A с номерами из J образуют базу. Ранг системы столбцов совпадает с порядком максимального не нулевого минора, что и требовалось доказать.

Следствие 7.25. Ранг произведения матриц не превосходит ранга сомножителей.

Доказательство. Пусть C=AB. По определению произведения матриц, строки матрицы C являются линейными комбинациями строк матрицы B и, значит, . Аналогично, столбцы матрицы C – линейные комбинации столбцов матрицы A, и .

Содержание