Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
Для последовательности многочленов F и числа a определим w(a) – число перемен знака в числовой последовательности (нули игнорируем).
Теорема 2.26 Штурма
Число различных корней многочлена на отрезке равно .
Доказательство. Пусть корни многочленов из ряда Штурма F, принадлежащие отрезку и упорядоченные в порядке возрастания. Поскольку, многочлен может изменить знак только при прохождении через корень, то для любых точек из интервала число перемен знака заведомо одно и тоже. Если корень многочлена (i>0) то последовательность при достаточно малом по модулю значению y даёт только одну перемену знака, т.к. по условию II на концах стоят числа разных знаков. Следовательно, число перемен знака может измениться только при прохождении через корень многочлена . По условию IV, число перемен знака может только уменьшаться.
Пусть многочлен f(x) не имеет кратных корней. Построим последовательность многочленов: , , и далее, - остаток от деления на умноженный на -1.
Данная последовательность многочленов будет последовательностью многочленов Штурма. Действительно, условие IV выполнено по свойству производной. Наибольший общий делитель многочлена и его производной равен 1, т.к. нет кратных корней. Таким образом, последний многочлен в ряду равен константе и не имеет вещественных корней. Из равенства вытекает условие II. Подставив x=a, где a – корень , получим . Общего корня у соседних многочленов не может быть, так как его наличие приводит к существованию кратных корней у .
-
Содержание
- Натуральные числа
- Метод математической индукции.
- Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- Целые числа
- Рациональные числа
- Числовые кольца, поля
- Вещественные числа
- Поле комплексных чисел
- Комплексная плоскость.
- Извлечение корней, корни из единицы
- Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- Неприводимый многочлен, его свойства
- Из вытекает, либо , либо .
- Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- Корень многочлена.
- Интерполяционный многочлен
- Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- Примитивный многочлен, его свойства
- Критерий Эйзенштейна
- Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- Старший коэффициент не делится на p
- Свободный член не делится на
- Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- Рациональные корни.
- Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- Формальная производная, ее свойства
- Производные высоких порядков
- Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- Формулы Виета
- Симметрические полиномы
- Формулы Кардано
- Способ Феррари
- Дискриминант
- Основная теорема Алгебры
- Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- Теорема Штурма
- Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- Равносильные преобразования
- Умножение строки не ненулевое число.
- Перестановка строк
- Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- Метод Гаусса.
- Перестановки
- Четность перестановок
- Определитель
- Свойства определителя
- Изменит знак при перестановке столбцов
- Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- Вычисление определителей произвольных порядков
- Определитель Вандермонда
- Теорема Лапласа
- Умножение матриц
- Формула Бине-Кощи
- Операции с матрицами
- Обратная матрица
- Правило Крамера
- Матрица элементарных преобразований
- Построение обратной матрицы
- Блочные матрицы
- Алгоритм Штрассена
- Кронекерово произведение
- Формула Фробениуса
- Линейные пространства.
- . Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- . Прямая сумма подпространств. Проекция.
- Изменение координат вектора при изменении базиса.
- Изоморфизм линейных пространств.
- Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- Ранги матрицы.
- Общее решение системы линейных уравнений.
- Двойственное пространство
- Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- Геометрия на плоскости и в пространстве.
- Скалярное произведение.
- Симметричность .
- Векторное и смешанное произведение.
- Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- Ортогональность.