Lektsii_po_GA_1_semestr_PI

Теорема Лапласа

Определение 5.18. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответственно. Подматрицу матрицы A, расположенную на пересечении строк с номерами из I и столбцов с номерами из J, обозначим как , а подматрицу, получаемую из A, вычеркиванием строк с номерами из I и столбцов с номерами из J обозначим через . Определитель называется минором, а определитель - дополнительным минором.

Лемма 5.11 Справедливо равенство .

Доказательство. Выразим правую часть равенства через элементы исходной матрицы. Для этого заметим, что и , где (номера упорядочены в порядке возрастания). Подставим данные выражения в правую часть и перемножим

Первая сумма состоит из слагаемых, вторая сумма – из k! слагаемых и третья сумма – (n-k)! слагаемых. Следовательно, общее количество слагаемых равно n!. Покажем, что каждое из этих слагаемых входит в определитель с тем же самым знаком. Слагаемое имеет вид , где . В определителе оно соответствует перестановке . Представим перестановку в виде произведения трёх перестановок , где , и . Легко убедиться в справедливости равенств , , . Следовательно, , и таким образом, совпадение знаков показано, что завершает доказательство леммы.

Теорема 5.31 (Лапласа). Пусть множество номеров строк. Справедливо равенство .

Доказательство. Обозначим через B матрицу, получающуюся из матрицы A последовательной перестановкой строк с номерами из I на место первых k строк (при этом порядок остальных строк не нарушается). Для этого потребуется перестановок строк, и значит, . Разложив определитель матрицы B (Лемма 5 .11), и заметив, что , выводим .

Следствие 5.9. Пусть множество номеров столбцов. Справедливо равенство .

Вытекает из теоремы Лапласа и равенства определителей .

Следствие 5.10. (разложение по столбцу). Пусть j – номер столбца. Справедливо равенство .

Следствие 5.11 (разложение по строке) Пусть i – номер строки. Справедливо равенство .

Примеры использования теоремы Лапласа.

Содержание