Блочные матрицы

Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строении матрицы. Использование блочного строения матриц позволяет строить более эффективные алгоритмы.

Теорема 6.35. Умножение блочных матриц.

Пусть матрица A имеет блочное строение , а матрица B имеет блочное строение , причем размеры блоков согласованы так, что существует произведение при любых i,j,r. Тогда произведение матриц C=AB будет иметь блочное строение , причем . Последнее выражение имеет такой же вид, как если бы умножали матрицы с числовыми элементами.

Доказательство. Элемент блочной матрицы A, расположенный в блоке на пересечении строки r и столбца s обозначим через . По определению произведения матриц, имеем , где - количество столбцов в блоке (по условиям теоремы это число совпадает с количеством строк блока ). Сумма является элементом матрицы , расположенным на пересечении строки r и столбца s. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Использования блочного представления матриц позволяет получать более эффективные алгоритмы для решения задач линейной алгебры.