Общее решение системы линейных уравнений.

Теорема 7.47. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна

n-rgA.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы не изменится, если из матрицы удалить линейно зависимые строки. Поэтому, можно считать, что число строк матрицы A совпадает с её рангом. Пусть J – множество номеров столбцов матрицы A, в которых расположен максимальный не нулевой минор, T – остальное множество номеров столбцов. Систему уравнений можно записать в виде , где подматрица матрицы A расположенная в столбцах с номерами из J, - вектор, образованный компонентами x с номерами из J. Обозначим столбец, у которого все компоненты равны 0, кроме i-ой, равной 1, через . Вектор , является решением системы линейных уравнений. Обозначим этот вектор через (). Система векторов является линейно независимой, так как в строках с номерами из T расположена единичная матрица, определитель которой не равен 0. Пусть y - произвольное решение системы линейных уравнений, тогда , и, учитывая равенство выводим и, значит, . Поскольку произвольное решение системы линейных уравнений является линейной комбинацией линейно независимой системы векторов , то эта система векторов является базисом и размерность подпространства решений равна n-rgA.

Позднее будет показано, что любое подпространство может быть задано некоторой СЛУ.

Теорема 7.48 Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения и общего решения соответствующей однородной системы линейных уравнений.

Доказательство. Очевидно.

Множество решений системы линейных уравнений (не однородной) называется линейным многообразием.