2.6. Возможные формальные возражения против 139

необоснованного или непознаваемого алгоритма. В дальнейшем (см. главу 3) я попробую убедить читателя в том, что в действительности понимание вообще не является алгоритмической деятельностью. На настоящий же момент нас интересуют всего лишь строгие следствия из доказательства Гёделя-Тьюринга, а на них возможность получения вычисления из процедуры А вычислительным путем никоим образом не влияет.

Q7. Общая совокупность результатов, полученных всеми когда-либо жившими математиками, плюс совокупность результатов, которые будут получены всеми математиками за последующую, скажем, тысячу лет, - имеет конечную величину и может уместиться в банках памяти соответствующего компьютера. Такой компьютер, естественно, способен без особого труда воспроизвести все эти результаты, и, тем самым, повести себя (внешне) как математик-человек - что бы ни утверждало по этому поводу гёделевское доказательство.

Несмотря на кажущуюся логичность этого утверждения, здесь упущен из виду один очень существенный момент, а именно: способ, посредством которого мы (или компьютеры) определяем, какие математические утверждения истинны, а какие - ложны. (Во всяком случае, на простое хранение математических утверждений способны и системы, гораздо менее сложные, нежели универсальный компьютер, - например, фотоаппараты.) Принцип использования компьютера в Q7 совершенно не учитывает критического вопроса о наличии у этого самого компьютера способности суждения об истинности. С равным успехом можно вообразить и компьютеры, в памяти которых не содержится ничего, кроме перечня абсолютно ложных математических "теорем", либо случайным образом перемешанных истинных и ложных утверждений. Откуда мы узнаем, какому компьютеру можно доверять? Я отнюдь не утверждаю, что эффективное моделирование результатов сознательной интеллектуальной деятельности человека (в данном случае, в области математики) абсолютно невозможно, поскольку по одной лишь чистой случайности компьютер может "умудриться" сделать все правильно, пусть и не обладая каким бы то ни было пониманием. Однако шансы на это до абсурдного малы, в то время как те вопросы, на которые мы

140 Глава 2

здесь пытаемся найти ответ (например, каким таким образом мы определяем, что вот это математическое утверждение истинно, а вот это - ложно?), в возражении Q7 и вовсе не затрагиваются. С другой стороны, Q7 все же напоминает об одном более существенном соображении. Имеет ли непосредственное отношение к нашему исследованию обсуждение бесконечных структур (всех натуральных чисел или всех вычислений), если учесть, что совокупность всех результатов, полученных на тот или иной момент времени всеми людьми и компьютерами, имеет конечную величину? В следующем комментарии мы рассмотрим этот безусловно важный вопрос отдельно.

Q8. Незавершающиеся вычисления суть идеализированные математические конструкции, по определению бесконечные. Вряд ли подобные вопросы могут иметь сколько-нибудь непосредственное отношение к изучению конечных физических объектов - таких, как компьютеры или мозг.

Все верно: рассуждая в идеализированном ключе о машинах Тьюринга, незавершающихся вычислениях и т. п., мы рассматривали бесконечные (потенциально) процессы, тогда как в случае людей или компьютеров нам приходится иметь дело с системами конечными. И, разумеется, применяя подобные идеализированные доказательства к реальным и конечным физическим объектам, следует быть готовыми к тому, что такая операция непременно окажется связанной с теми или иными ограничениями и оговорками. Однако, как выясняется, учет конечной природы реальных объектов не изменяет сколько-нибудь существенно сути доказательства Гёделя-Тьюринга. Нет ничего странного в том, что мы рассуждаем об идеализированных вычислениях, обосновываем те или иные умозаключения и выводим, математически, их теоретические ограничения. Можно, к примеру, обсуждать в абсолютно конечных терминах вопрос о том, существует ли нечетное число, являющееся суммой двух четных чисел, или существует ли натуральное число, не являющееся суммой четырех квадратов (как в приведенных выше задачах (С) и (В)), нисколько не смущаясь тем, что при рассмотрении этих вопросов мы неявно учитываем бесконечное множество всех натуральных чисел. Мы имеем полное право рассуждать о незавершающихся вычислениях (или машинах Тьюринга вообще) как о математических