6.4. Матрица плотности 493

Члены могут "коммутировать" с другими выраже-

ниями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких "объектов", как необходимо тщательно соблю-

дать. Далее получаем (учитывая, что , см. с. 412)

Напомню (см. §5.13, с. 443), что величины

представляют собой квантовые вероятности соответствующих

конечных состояний , тогда как а и Ъ суть классические

вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном

выражении квантовые и классические вероятности оказываются

смешаны.

В случае более общего измерения типа "да/нет" рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора используется проектор более общего вида

где - взаимно ортогональные нормированные

состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором , системы с матрицей плотности D равна следу (DE) - в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности.

Допустим, например, что у нас имеется частица со спином ,

494 Глава 6

и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает - или Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний

равны и , построим матрицу плотности

Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей любых других ортогональных возможностей - скажем, состояний (нормированных)

Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении "вверх", т. е. соответствующий проектор имеет вид

Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим

где мы полагаем (поскольку состоя-

ния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим