5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров 459

Попытаемся разобраться в квантовой механике феномена магических додекаэдров из §5.3. Вспомним, что "Квинтэссен-циальные Товары", там, у себя, на Бетельгейзе, взяли систему с общим спином 0 (начальное состояние ), разделили ее на

два атома (каждый со спином ) и подвесили аккуратно каждый

атом в центр додекаэдра. Додекаэдры затем тщательно упаковали и отправили почтой (один - мне, а другой - моему коллеге в систему альфы Центавра), обеспечив при этом полную неизменность спиновых состояний этих самых атомов до тех пор, пока кто-то из нас не выполнит, наконец, измерение спина, нажав на одну из кнопок, размещенных в вершинах додекаэдров. Дело в том, что нажатие на кнопку активирует (скажем, с помощью неоднородного магнитного поля, упомянутого в §5.10) измерение (типа измерения Штерна -Герлаха) атома, расположенного в центре соответствующего додекаэдра, - а возможных результатов измерения частицы со спином , как нам известно, всего четыре, и они соответствуют (в случае, если измерительное устройство сориентировано вертикально) четырем взаимно ортогональным состояниям: . Различаются эти состояния по местоположению атома после прохождения через устройство в одном из четырех возможных лучей. Однако "Квинтэссенциальные Товары" устроили все таким образом, что при нажатии на любую кнопку измерительное устройство непременно оказывается сориентировано в направлении (от центра додекаэдра) на эту самую кнопку. Звонок звенит (результат ДА), если атом при измерении обнаруживается во втором из четырех возможных местоположений (см. рис. 5.27). Иначе говоря, ответ ДА (для случая, когда устройство ориентировано вертикально) вызывается состоянием - звенит звонок, за которым следует впечатляющий фейерверк, - остальные три состояния никакой реакции не вызывают (ответ НЕТ). В случае ответа НЕТ три оставшиеся луча сводятся вместе (скажем, посредством изменения направленности неоднородного магнитного поля на обратную), что не сопровождается никакими разрушительными эффектами, - и мы снова можем нажимать на какую-нибудь другую кнопку, выбирая тем самым новое направление изменения поля. Отметим тот факт, что каждое нажатие кнопки является, по сути своей, примитивным измерением, согласно определению этого термина, данному в § 5.13.

460 Глава 5

Рис. 5.27. "Квинтэссенциальные Товары" устроили все таким образом, что при нажатии на кнопку в одной из вершин додекаэдра выполняется измерение спина атома

со спином в направлении на кнопку (каковое направление принимается за направление "вверх"). Если при этом измерении обнаруживается состояние , то звенит звонок (результат ДА). Если получен результат НЕТ, лучи сводятся вместе, и измерение повторяется в каком-либо другом направлении.

Общее состояние нашей системы из двух атомов со спином можно записать следующим образом:

Будем считать мой атом правым; в этом случае, если я обнаруживаю, что он действительно находится в состоянии , поскольку звонок звенит при моем первом нажатии на верхнюю кнопку, то звонок додекаэдра моего коллеги должен зазвенеть, если тому случится нажать первой кнопку, противоположную моей, - т. е. состояние его атома . Более того, если при нажатии первой кнопки мой звонок не зазвенит, то не зазвенит и его звонок при нажатии противоположной кнопки.

Теперь необходимо убедиться, что при таких примитивных "кнопочных" измерениях действительно выполняются гарантируемые "Квинтэссенциальными Товарами" свойства (а) и (б). В Приложении С приведены некоторые математические подробности предложенного Майораной описания спиновых состояний

(в частности, для спина ), вполне достаточные для какого угодно

доказательства. Для упрощения рассуждений представим себе, что сфера Римана проходит через все вершины рассматриваемого додекаэдра, т. е. описывает додекаэдр. Отметим далее,

5. / 8. Объяснение загадки маги ческих додекаэдров 461

что в описании Майораны ДА-состояние для нажатия кнопки в некоторой вершине Р додекаэдра включает в себя дважды саму точку Р, а также точку Р*, антиподальную Р, - что и в самом деле соответствует состоянию , если точка Р находится на северном полюсе додекаэдра. Иначе говоря, это ДА-состояние мы можем обозначить через |Р*РР).

Ключевым свойством спина является то, что ДА-состоя-

ния для примитивных измерений, соответствующих нажатиям на кнопки при двух "следующих соседних" вершинах, ортогональны. В чем тут причина? Покажем, что майорановы состояния и действительно ортогональны для любых следующих соседних вершин А и С додекаэдра. Как видно из рис. 5.28, следующими соседними являются вершины додекаэдра, совпадающие с соседними вершинами куба, вписанного в додекаэдр и имеющего с ним общие центр и восемь вершин. Согласно Приложению С (последний абзац, с. 473), состояния и ортогональны, если вершины А и С являются соседними вершинами куба, так что свойство можно считать доказанным.

Рис. 5.28. Внутрь правильного додекаэдра можно поместить куб, который будет иметь общие с додекаэдром центр и восемь (из двадцати) вершин. Отметим, что соседние вершины куба являются следующими соседними вершинами додекаэдра.

О чем это нам говорит? В частности, о том, что нажатия кнопок при трех вершинах додекаэдра, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной представляют собой коммутирующие измерения (§5.14), поскольку по отношению друг к другу эти вершины являются следующими соседними. Таким образом, порядок,

462 Глава 5

в котором я буду на них нажимать, никак не повлияет на исход дела. Не имеет никакого значения и то, в каком порядке будет нажимать на кнопки своего додекаэдра мой коллега на альфе Центавра. Если его ВЫБРАННОЙ вершиной является вершина, противоположная моей, то противоположны моим и три коммутирующие кнопки его додекаэдра. Согласно всему вышесказанному, мой и его звонки должны зазвенеть при нажатии нами на противоположные кнопки независимо оттого, в каком порядке каждый из нас нажимает на кнопки своего додекаэдра, - либо ни мой, ни его звонок не зазвенит вообще. Свойство (а) доказано.

Перейдем к свойству (б). Отметим, что гильбертово пространство для спина четырехмерно, так что три взаимно ортогональных возможных нажатия, при которых звонок мог бы зазвенеть - скажем, те, которым соответствуют состояния

и (в качестве ВЫБРАННОЙ возьмем верши-

ну В), - не вполне исчерпывают всех возможных альтернативных исходов. Остается еще вариант, когда не "звенит" ни одна их этих кнопок, в результате чего мы имеем нулевое измерение (все три кнопки были нажаты, а звонок не прозвенел), т. е. перед нами еще одно состояние (уникальное), ортогональное остальным трем ( ). Обозначим это состояние через , где R, S и Т - точки на сфере Римана, необходимые для описания состояния по Майоране. Установить действительное расположение этих трех точек - задача далеко не тривиальная (но вполне решаемая, см. [395]). Впрочем, в настоящий момент нам абсолютно неважно, где именно они располагаются. Достаточно знать, что они где-то на сфере Римана и что их расположение определяется геометрией додекаэдра относительно ВЫБРАННОЙ вершины В. Так, в частности (благодаря симметричности додекаэдра), возьми я в качестве ВЫБРАННОЙ вместо В антиподальную ей вершину В*, тогда результатом отсутствия звонка при нажатии всех кнопок при соседних с В* вершинах А*, С* и G* стало бы состояние |R*S*T*}, где R*, S* и Т* - точки, антиподальные точкам R, S и Т.

Предположим теперь, что мой коллега ВЫБИРАЕТ на своем додекаэдре вершину В, в точности соответствующую той вершине В, что ВЫБРАЛ на своем додекаэдре я. Если при этом его звонок не звенит при нажатии любой из трех его кнопок при вершинах А, С и G, соседних с В, то его измерения (коммути-