2.10. Возможные формальные возражения против 175

го места, смею надеяться, уже ясно, что возможные ошибки подобного рода существенной роли здесь не играют. Помните, что говорил Фейнман?

Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5 вариант доказательства Гёделя(-Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алгоритма А, и являет собой критерий для установления незавер-шаемости вычислений (т. е. истинности -высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, поскольку известно, что из обоснованности алгоритма А следует истинность утверждения о незавершаемости вычисления Ck (k), каковое явное утверждение (тоже -высказывание) мы имеем полное право использовать вместо высказывания G (F). Более того, как отмечалось выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной системы F, а от ее -непротиворечивости. Из обоснованности системы F очевидно следует ее непротиворечивость, равно как и -непротиворечивость. Если допустить, что система F обоснованна, то ни , ни G(F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы "постепенное размывание" убежденности того или иного математика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы F к убеждению в истинности высказывания G(F) (или ), оно будет целиком и полностью обусловлено возможностью ошибки в точной формулировке полученного им высказывания "G(F)>>. (To же применимо и к высказыванию f2(F).) Все это не имеет непосредственного отношения к настоящему обсуждению - при наличии подлинной (не случайной) формулировки высказывания G(F) никакого размывания убежденности происходить не должно. Если формальная система F неопровержимо обоснованна, то ее высказывание G (F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения

остаются неизменными при условии, что под "истинностью" подразумевается "неопровержимая истинность".

Q14. Нет никаких сомнений в том, что формальная система ZF - или некоторая стандартная ее модификация (обозначим ее через ZF*) -действитель-

176 Глава 2

но включает в себя все необходимое для серьезной математической деятельности. Почему бы просто не принять эту систему за основу, смириться с недоказуемостью ее непротиворечивости и продолжить свои математические изыскания?

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распространена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или философию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительности такие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, подобных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет дело лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рамках некоей конкретной формальной системы - такой, например, как ZF (или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле напоминает своего рода "игру". Назовем ее ZF-игрой (или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с правилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повседневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является истинным, и будет истинным, а все, что ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZF непротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание9 G(ZF) и его отрицание ~G(ZF) принадлежат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, окажись система ZF противоречивой, то и высказывание G(ZF), и его отрицание ~G(ZF) были бы ИСТИННЫМИ и ложными одновременно!)

9Как и ранее, обозначение G (F) можно без каких бы то ни было последствий заменить на . То же справедливо и для комментариев к Q15-Q20.