2.6. Возможные формальные возражения против 137

чает ли это, что предположительно неалгоритмическая математическая интуиция - интуиция, благодаря которой мы определяем, что вычисление никогда не завершается, - на деле является все же алгоритмической?

Думаю, данное суждение следует рассмотреть более подробно, поскольку оно представляет собой одно из наиболее распространенных недоразумений, связанных с гёделевским доказательством. Следует особо уяснить, что оно не сводит на нет ничего из сказанного ранее. Хотя процедуру отыскания вычисления Ck (k) с помощью алгоритма А можно представить в виде вычисления, это вычисление не входит в перечень процедур, содержащихся в А. И не может входить, поскольку самостоятельно алгоритм А не способен установить истинность Ck (k), тогда как новое вычисление (вкупе с А), судя по всему, вполне на это способно. Таким образом, несмотря на то, что с помощью нового вычисления действительно можно отыскать вычисление Ck (k), членом клуба "официальных установителей истины" оно не является.

Изложим все это несколько иначе. Вообразите себе управляемого компьютером робота, способного устанавливать математические истины с помощью алгоритмических процедур, содержащихся в А. Для большей наглядности я буду пользоваться антропоморфной терминологией и говорить, что робот "знает" те математические истины (в данном случае - связанные с установлением факта незавершаемости вычислений), которые он может вывести, применяя алгоритм А. Однако если наш робот "знает" лишь А, то он никак не сможет "узнать", что вычисление Ck (k) не завершается, даже если процедура отыскания Ck (k) с помощью А является целиком и полностью алгоритмической. Мы, разумеется, могли бы сообщить роботу о том, что вычисление Ck (k) и в самом деле не завершается (воспользовавшись для установления этого факта собственными пониманием и интуицией), однако, если робот примет это утверждение на "веру", ему придется изменить свои собственные правила, присоединив полученную новую истину к тем, что он уже "знает". Мы можем пойти еще дальше и каким-либо способом сообщить нашему роботу о том, что для получения новых истин на основании старых ему, помимо прочего, необходимо "знать" и общую вычислительную процедуру отыскания Ck (k) посредством алгоритма А. К запасу "знаний" робота можно добавить все, что является вполне

138 Глава 2

определенным и вычислительным по своей природе. Однако в результате у нас появляется новый алгоритм "А", и доказательство Гёделя следует применять уже к нему, а не к старому А. Иначе говоря, везде вместо старого А нам следовало бы использовать новый "А", поскольку менять алгоритм посреди доказательства есть не что иное, как жульничество. Таким образом, как мы видим, изъян возражения Q6 очень похож на рассмотренный выше изъян Q5. В нашем reductlo ad absurdum мы полагаем, что алгоритм А (под которым понимается некая познаваемая и обоснованная процедура для установления факта незавершае-мости вычислений) в действительности представляет собой всю совокупность известных математикам подобных процедур, из чего и следует противоречие. Попытку введения еще одной вычислительной процедуры для установления истины - процедуры, не содержащейся в А, - после того как мы договорились, что А представляет собой всю их совокупность, я расцениваю как жульничество.

Беда нашего злосчастного робота в том, что, не обладая каким бы то ни было пониманием гёделевской процедуры, он не располагает ни одним надежным и независимым способом установления истины - истину ему сообщаем мы. (Эта проблема, вообще говоря, не имеет никакого отношения к вычислительным аспектам доказательства Гёделя.) Для того чтобы достичь чего-то большего, ему, как и всем нам, необходимо понимание смысла операций, которые ему велено выполнять. Если такого понимания нет, то он вполне может "знать" (ошибочно), что вычисление Ck (k) завершается, а вовсе не наоборот. Заключение (ошибочное) "вычисление завершается" выводится точно так же алгоритмически, как и заключение (правильное) "вычисление Ck (k) не завершается". Таким образом, дело вовсе не в алгоритмическом характере этих операций, а в том, что для различения между алгоритмами, приводящими к истинным заключениям, и теми, что приводят к заключениям ложным, наш робот нуждается в способности выносить достоверные суждения об истинности. Далее, на данной стадии рассуждения, мы все еще допускаем возможность того, что процесс "понимания" представляет собой некую разновидность алгоритмической деятельности, которая не содержится ни в одной из точно заданных и "заведомо" обоснованных процедур типа А. Например, понимание может осуществляться посредством выполнения какого-то