5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров 465

выходя за рамки стандартной теории, почему на практике сцеп-ленность лшжно-таки не принимать в расчет. Почему нам вовсе не обязательно представлять Вселенную в виде единого целого, этакого невероятно сложного квантовосцепленного спутанного клубка, не имеющего ничего общего с тем классическим по виду миром, который мы в реальности наблюдаем? На практике квантовые сцепленности разрушаются то и дело применяемой процедурой редукции R, что небезуспешно проделали и мы с коллегой, выполнив измерения над сцепленными атомами, помещенными внутрь наших додекаэдров. Является ли, в таком случае, эта самая редукция R реальным физическим процессом? Иными словами, действительно ли R, в том или ином смысле, разрушает квантовые сцепления? Или это надо понимать просто как фигуру речи, призванную обозначить некое иллюзорное действие?

В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.

Примечания

1. См. [296], [299] и [396].

2. Первый проект конкретного эксперимента такого рода был предло

жен Клаузером, Хорном и Шимони (см. [54] и [55]),

3. Первые эксперименты, результаты которых указывали на подтвер

ждение предсказания квантовой нелокальности, были проведены

Фридманом и Клаузером [ 125]; несколькими годами позже Аспект,

Гранжье и Роже [14] получили существенно более полные и одно

значные результаты (см. также [13]).

4. Известно еще одно "классическое" объяснение тех ЭПР-эффек-

тов, что наблюдались Аспектом и прочими экспериментаторами.

Объяснение это (так называемый "колгапс с запаздыванием")

предложил Юэн Сквайре [356], исходя из допущения, что реальные

моменты выполнения измерения детекторами в двух удаленных друг

от друга точках может разделять довольно существенный промежу

ток времени. Это допущение рассматривается в контексте некоей

теории - само собой, нетрадиционной, вроде тех, что встретятся

нам в §§6.9 или 6.12, - где делаются вполне конкретные предска

зания относительно вероятного момента времени, в который реаль

но выполняется каждое из двух квантовых измерений. Поскольку

оба эти момента подвержены влиянию всевозможных случайных

факторов, ничто не мешает предположить, что один из детекторов

466 Глава 5

выполнит измерение существенно раньше, чем другой, - настолько раньше, что этого времени вполне хватит на то, чтобы сигнал от первого детектора, распространяясь со скоростью света, достиг второго детектора и передал ему информацию о результате выполненного измерения.

Согласно такой точке зрения, всякое квантовое измерение сопровождается "информационной волной", распространяющейся со скоростью света в направлении от события измерения. Это представление полностью согласуется с классической теорией относительности (см. § 4.4), однако противоречит, на достаточно больших расстояниях, квантовой теории. В частности, коллапсом с запаздыванием невозможно объяснить описанные в § 5.3 свойства магических додекаэдров. Разумеется, соответствующего "эксперимента" пока еще никто не проводил, и можно вполне безнаказанно уверять себя в том, что уж в этом-то случае предсказания квантовой теории нипочем не подтвердятся. У меня, однако, имеется и более серьезное возражение: попытка применения теории "коллапса с запаздыванием" к другим квантовым измерениям сталкивается с серьезными трудностями, приводящими в конечном итоге к нарушению всех стандартных законов сохранения. Например, два достаточно разнесенных детектора смогут при таком раскладе уловить одну и ту же, скажем, а-частицу, испускаемую при распаде радиоактивного атома, что разом нарушает законы сохранения энергии, электрического заряда и барионного числа! (При достаточно большом расстоянии между детекторами "информационной волне" от первого детектора просто-напросто не хватит времени для того, чтобы успеть "предупредить" второй детектор, запретив ему тем самым принимать ту же а-частицу.) Впрочем, "статистически" законы сохранения в данном случае все равно действуют, и мне не известно ни об одном реальном измерении, опровергающем это допущение. Одну из последних оценок статуса соответствующей теории можно найти в [204].

5. Как сообщил мне Абнер Шимони, Кохен и Спекер к тому времени

уже самостоятельно пришли к соответствующей переформулиров

ке.

6. Примеры с другими геометрическими конфигурациями можно най

ти в [305], [260] и [299].

7. Для того чтобы получить самое эффективное "полусеребрёное зер

кало", никакого серебра не требуется вовсе, достаточно взять пла

стину любого прозрачного материала соответствующей толщины,

определяемой длиной волны падающего света. Нужный эффект

будет достигнут посредством сложной комбинации многократных

внутренних отражений и пропусканий, окончательным результатом

Нераскрашиваемость додекаэдра 467

чего станут два равных по интенсивности луча света - отраженный и прошедший сквозь. Фазовый сдвиг на четверть длины волны (обусловливающий появление того самого коэффициента г) возникает вследствие "унитарности" окончательного разделения исходного луча света на прошедший и отраженный лучи. Более подробное обсуждение имеется в [224].

8. См., например, или {70].

9. Фазовый коэффициент для отраженного состояния я выбрал здесь,

в некотором смысле, произвольно. Он частично зависит от того,

какого рода зеркало используется. В данном случае, кстати, зер

кала могут быть и в самом деле серебрёными, в отличие от "полу

серебрёного зеркала" (прекрасно обходящегося вовсе без серебра)

в Примечании 7. Выбранный мною коэффициент г представляет со

бой своего рода компромисс с целью достижения внешнего согла

сия с коэффициентом, получаемым для "полусеребрёных зеркал".

Вообще говоря, до тех пор пока мы остаемся последовательными в

отношении обоих типов участвующих в эксперименте зеркал, не так

уж и важно, какой именно коэффициент выбирается для описания

отражения от зеркал непрозрачных.

10. См., например, [225], а также ссылки, перечисленные в примечании 6.

Приложение В: Нераскрашиваемость додекаэдра

Напомним условие задачи, поставленной в § 5.3. Предлагается показать, что невозможно раскрасить все вершины додекаэдра в БЕЛЫЙ и ЧЕРНЫЙ цвета, соблюдая следующие условия: две "следующие соседние" вершины не могут обе быть БЕЛЫМИ, а шесть вершин, соседних с двумя противоположными (антиподальными) вершинами, не могут быть все ЧЕРНЫМИ. При исключении возможных вариантов раскраски чрезвычайно полезной оказывается симметричность додекаэдра.

Обозначим вершины, как указано на рис. 5.29. Вершины А, В, С, D и Е образуют ближайшую к нам пятиугольную грань додекаэдра; дальше, в том же порядке, следуют соседние с ними вершины F, G, Н, 1 и J. Как и в §5.18, соответствующие анти-подальные вершины обозначены через А*, ..., J*. Для начала отметим, что, согласно второму свойству условия, среди вершин додекаэдра хотя бы одна должна быть БЕЛОЙ - пусть это будет А.

468 Приложение С

Предположим теперь, что среди непосредственных соседей БЕЛОЙ вершины А имеется еще одна БЕЛАЯ вершина - скажем, В (см. рис. 5.29). Тогда все десять вершин, окружающие эту пару, - С, D, Е, J, H*, F, I*, G, J* и Н - должны быть ЧЕРНЫМИ, так как каждая из них является следующей соседней по отношению либо к А, либо к В. Далее, возьмем шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной пары Н, Н*. В этой шестерке должна быть хотя бы одна БЕЛАЯ вершина, значит, БЕЛОЙ будет либо F*, либо С* (или обе сразу). Проделав ту же процедуру с парой J, J*, приходим к выводу, что здесь БЕЛОЙ должна быть либо вершина G*, либо Е* (или, опять же, обе сразу). Но это невозможно И G*, и Е* являются следующими соседними по отношению как к F*, так и к С*. Следовательно, вариант, когда у БЕЛОЙ вершины А имеется БЕЛЫЙ же непосредственный сосед, исключается - в самом деле, ввиду симметричности додекаэдра, невозможной оказывается любая пара соседних БЕЛЫХ вершин.

Таким образом, вершина А должна быть окружена исключительно ЧЕРНЫМИ вершинами В, С, D, Е, J, H*, F, I* и G, поскольку каждая из этих вершин является по отношению к А либо соседней, либо следующей соседней. Обратим наше внимание на шесть вершин, соседних с вершинами из антиподальной f пары А, А*. Очевидно, что одна из вершин В*, Е* или F* долж- . на быть БЕЛОЙ, причем, в силу симметричности додекаэдра,-4-* неважно, какая именно, - пусть будет F*. Отметим, что верши- o ны Е* и G* являются следующими соседними по отношению к F*, значит, они обе должны быть ЧЕРНЫМИ; ЧЕРНОЙ должна быть и вершина Н, поскольку она соседствует с F*, а мы только что исключили возможность существования соседних БЕЛЫХ вершин. Однако так раскрашивать вершины нельзя, потому что при этом все соседи антиподальных вершин J, J* оказываются ЧЕРНЫМИ. Вот, собственно, и все доказательство - в классическом мире магические додекаэдры невозможны!

Приложение С: Ортогональность общих спиновых состояний

Предложенное Майораной обобщенное описание спиновых состояний не пользуется широкой известностью среди физиков,

Ортогональность общих спиновых состояний 469

хотя оно весьма удобно и геометрически наглядно. Я расскажу здесь вкратце об основных формулах и о некоторых их геометрических приложениях. Мы, в частности, получим необходимые для рассуждения в §5.18 отношения ортогональности, определяющие геометрию магических додекаэдров. Мои описания существенно отличаются от тех, что первоначально сформулировал Майорана [252], приближаясь, скорее, к описаниям, данным в [299] и [396].

Идея заключается в том, что берется неупорядоченное множество из п точек на сфере Римана, каковые точки рассматриваются как корни комплексного полинома степени п, коэффициенты которого, в свою очередь, используются в качестве координат (п + 1)-мерного гильбертова пространства спиновых состоя-

ний(массивной) частицы со спином . Как и в § 5.10, основными

состояниями будем считать различные возможные результаты измерения спина в вертикальном направлении; представим эти состояния в виде одночленов (добавив соответствующие нормирующие множители, чтобы сохранить единичную длину векторов состояний):

470 Приложение С

где

Корням полинома р (х) = 0 соответству-

ют п точек на сфере Римана, определяющие описание Майораны. Допускается и майоранова точка, задаваемая корнем , - южный полюс сферы, - это происходит, когда степень полинома оказывается меньше п на величину, определяемую кратностью этой точки.

Вращение сферы осуществляется посредством следующего преобразования: сначала выполняем замену

|, а затем избавляемся от знаменателей, умножив все выражение на . Таким образом, можно получить

полиномы, соответствующие результатам измерений (скажем, с помощью установки Штерна - Герлаха) спина в произвольно выбранном направлении, что дает выражения вида

Точки, задаваемые отношениями , являются антипо-

дальными на сфере Римана и соответствуют направлению измерения спина и направлению, противоположному ему. (Это предполагает некий подходящий выбор фаз для состояний

... i). Вышеупомянутые свойства и их детальные обоснования удобнее всего рассматривать в терминах 2-спинорного формализма. За подробностями отсылаю читателя к [301], с. 162 и §4.15. Общее состояние

спина описывается там через симметрический -валентный

спинор, при этом майораново описание выводится из канонического разложения спинора на симметризованное произведение спиновых векторов.)

Для любой точки а на сфере Римана антиподальной является точка . Таким образом, если отразить все майорановы точки, являющиеся корнями полинома

Ортогональность общих спиновых состояний 471 относительно центра сферы, то мы получим корни полинома

Пусть состояния заданы, соответственно, полино-

мами а (ж) и Ь (х), где

тогда их скалярное произведение имеет вид

Это выражение инвариантно относительно вращений сферы, что можно непосредственно доказать, используя вышеприведенные формулы.

Применим полученное выражение для скалярного произведения к конкретному случаю , т. е. к случаю двух состояний, майораново описание одного из которых состоит исключительно из точек, антиподальных точкам, составляющим майораново описание другого. Их скалярное произведение равно (с точностью до знака)

Нетрудно заметить, что при отрицательном п все члены выражения взаимно уничтожаются, а значит, можно сформулировать следующую теорему (напомним, что состояние, майораново описание которого имеет вид, скажем, Р, Q,..., S, обозначается через |PQ... S); точка, антиподальная X, обозначается X*):

C.I Если п нечетно, то состояние JPQR...T) ортогонально состоянию |P*Q*R*... Т*}.

Из общего выражения для скалярного произведения можно вывести еще два свойства:

С.2 Состояние |РРР...Р) ортогонально любому из состояний |P*AB...D>.

472 Приложение С

С.З Состояние |QPP...P) ортогонально состоянию |АВС...Е) в тех случаях, когда стереографическая проекция (из Р*) точки Q* совпадает с центром тяжести множества стереографических проекций (из Р*) точек А, В, С,..., Е.

(Центром тяжести множества точек называют центр тяжести совокупности равных точечных масс, размещенных в этих точках. О стереографических проекциях мы говорили в §5.10, рис. 5.19.) Для доказательства С.З развернем сферу так, чтобы точка Р* стала ее южным полюсом. Тогда состоянию |QPP... Р) соответствует полином , где \ определяет точку Q на сфере Римана. Вычислив скалярное произведение этого состояния с состоянием, представленным полиномом

, майораново описание которого составляют корни , находим, что это произведение обра-

щается в нуль, когда

т. е. когда , иначе говоря,

когда точка является центром тяжести (на комплексной плоскости) множества точек , . Что и доказыва-

ет свойство С.З. Для того чтобы доказать С.2, поместим в южный полюс точку Р. Тогда состоянию |РРР... Р) соответствует постоянная величина, 1. Если рассматривать ее как полином степени п, то соответствующее скалярное произведение обращается в нуль, когда

т. е. когда хотя бы одна точка из множества равна 0 или, что то же самое, совпадает с северным полюсом сферы - в данном случае, с точкой Р*. Что, собственно, и требовалось доказать.

Свойство С.2 позволяет интерпретировать майорановы точки в физическом смысле. Исходя из него, можно предположить, что эти точки определяют направления, измерение (типа измерения Штерна -Герлаха) спина в которых дает нулевую вероятность того, что полученное в результате измерения направление оси спина окажется диаметрально противоположным тому направлению, в котором это измерение выполнялось (см. НРК, с. 273). Кроме того, из С.2 можно вывести свойство для частного

Ортогональность общих спиновых состояний 473

случая: если спин равен , то ортогональными являются

исключительно те состояния, майорановы точки которых анти-подальны. Свойство С.З позволяет получить общую геометрическую интерпретацию ортогональности в случае спина 1 (п = 2). Примечателен частный случай, когда имеются два состояния, представленные в виде двух пар антиподальных точек, причем прямые, соединяющие эти точки, пересекаются в центре сферы

под прямым углом. В случае спина свойства С.З (с

некоторой оглядкой на С. 1) вполне достаточно для подкрепления объяснений, предложенных в §5.18. (Геометрическую интерпретацию ортогональности в общем случае я здесь давать не буду; может быть, как-нибудь в другой раз.)

Упоминаемое в §5.18 частное следствие из С.З относится к частному случаю, когда Р и Q являются соседними вершинами куба, вписанного в сферу Римана, т. е. PQ и Q*P* - противоположные ребра этого куба. Длина отрезка PQ* (или QP*) равна длине PQ (или P*Q*), умноженной на . Посредством несложных геометрических рассуждений можно показать, что состояния |Р*РР) и |Q*QQ) ортогональны.

6

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ И РЕАЛЬНОСТЬ