Lektsii_po_GA_1_semestr_PI

Свойства определителя

Разберем свойства определителей.

Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .

Свойство 5.6. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании.

Доказательство. . Упорядочив сомножители в каждом слагаемом по возрастанию номеров строк, получим , где g обратная перестановка к f. Поскольку их произведение четная перестановка, то четность f и g совпадают и . Когда f пробегает все перестановки, то g пробегает все перестановки. От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому .

Свойство 5.7. При перестановке двух строк определитель матрицы изменит знак.

Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой строк с номерами I и j. Транспозицию (i-j) обозначим через . Имеет место равенство . Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Учитывая равенство и тот факт , что когда f пробегает всё множество перестановок , то тоже пробегает все множество перестановок выводим требуемое свойство.

Свойство 5.8. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.

Доказательство. При перестановке одинаковых строк матрица не меняется, а значит, не изменится её определитель. По доказанному ранее, определитель должен поменять знак. Выполнение этих условий возможно в единственном случае, определитель равен нулю.

Свойство 5.9. Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку умноженную на число.

Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A прибавлением к строке i строки j, умноженной на число c. Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Раскроем скобки и переставим слагаемые, получим . Сумма является определителем матрицы, у которой две строки равны (I и j), и, значит, равна нулю. Таким образом, .

Свойство 5.10. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Доказательство. Пусть матрица A имеет верхнее треугольный вид, т.е при i<j. Определитель матрицы равен . Если , то , поэтому в сумме ненулевое слагаемое только при . Поскольку , то аналогично рассуждая, получаем . И так далее. В результате, сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, соответствующее тожественно перестановке, и, значит . Если матрица имеет нижнее треугольный вид, то транспонированием приведём её к верхнее треугольному виду, а потом применим Свойство 5 .10 .

Поскольку при транспонировании определитель матрицы не меняется, а преобразования со строками становятся преобразованиями со столбцами, то тем самым установлено

Свойство 5.11 Определитель матрицы

Содержание