Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7.49 Кронекера-Капели.
Система совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Очевидно.
В качестве примера определим взаимное расположение двух линейных многообразий: и (предполагается линейная независимость систем векторов и ). Рассмотрим две системы линейных уравнений и . Положим и .
Совместность первой системы означает, что у линейных многообразий есть общая точка. Равенство рангов является необходимым и достаточным условием совместности первой системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капели). Размерность пространства решений второй системы позволяет определить размерность пересечения линейных оболочек и по формуле . Этой информации достаточно для описания взаимного расположения линейных многообразий. В качестве примера приведём в таблицах все случаи взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.
Две прямые (k=s=1)
| r | R | примечание |
| 1 | 1 | Прямые совпадают (есть общая точка и размерность пересечения равна 1) |
| 1 | 2 | Прямые параллельны |
| 2 | 2 | Прямые пересекаются в одной точке |
| 2 | 3 | Прямые скрещиваются (нет общих точек и не параллельны) |
Прямая и плоскость (k=1, s=2)
| r | R | примечание |
| 2 | 2 | Прямая лежит в плоскости |
| 2 | 3 | Прямые параллельна плоскости |
| 3 | 3 | Прямая пересекается с плоскостью в единственной точке |
| 3 | 4 | Прямая и плоскость скрещиваются (нет общих точек и не параллельны) |
Две плоскости (k=s=2)
| r | R | примечание |
| 2 | 2 | Плоскости совпадают |
| 2 | 3 | Плоскости параллельны |
| 3 | 3 | Плоскости пересекаются по прямой |
| 3 | 4 | Плоскости скрещиваются, но имеют параллельные прямые |
| 4 | 4 | Плоскости пересекаются в единственной точке |
| 4 | 5 | Плоскости абсолютно скрещиваются (ни какие прямые одной плоскости не параллельны прямым другой плоскости) |
-
Содержание
- Натуральные числа
- Метод математической индукции.
- Бином Ньютона, треугольник Паскаля
- Целые числа
- Рациональные числа
- Числовые кольца, поля
- Вещественные числа
- Поле комплексных чисел
- Комплексная плоскость.
- Извлечение корней, корни из единицы
- Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- Разложение рациональных функций в сумму дробей.
- Неприводимый многочлен, его свойства
- Из вытекает, либо , либо .
- Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
- Корень многочлена.
- Интерполяционный многочлен
- Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- Разложение многочлена над полем рациональных чисел
- Примитивный многочлен, его свойства
- Критерий Эйзенштейна
- Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
- Старший коэффициент не делится на p
- Свободный член не делится на
- Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
- Рациональные корни.
- Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
- Формальная производная, ее свойства
- Производные высоких порядков
- Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
- Формулы Виета
- Симметрические полиномы
- Формулы Кардано
- Способ Феррари
- Дискриминант
- Основная теорема Алгебры
- Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
- Теорема Штурма
- Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
- Последний многочлен не имеет вещественных корней.
- Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
- Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- Равносильные преобразования
- Умножение строки не ненулевое число.
- Перестановка строк
- Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
- Метод Гаусса.
- Перестановки
- Четность перестановок
- Определитель
- Свойства определителя
- Изменит знак при перестановке столбцов
- Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
- Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
- Вычисление определителей произвольных порядков
- Определитель Вандермонда
- Теорема Лапласа
- Умножение матриц
- Формула Бине-Кощи
- Операции с матрицами
- Обратная матрица
- Правило Крамера
- Матрица элементарных преобразований
- Построение обратной матрицы
- Блочные матрицы
- Алгоритм Штрассена
- Кронекерово произведение
- Формула Фробениуса
- Линейные пространства.
- . Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
- Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
- . Прямая сумма подпространств. Проекция.
- Изменение координат вектора при изменении базиса.
- Изоморфизм линейных пространств.
- Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
- Ранги матрицы.
- Общее решение системы линейных уравнений.
- Двойственное пространство
- Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
- Геометрия на плоскости и в пространстве.
- Скалярное произведение.
- Симметричность .
- Векторное и смешанное произведение.
- Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- Ортогональность.