Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра

В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве точек заданы значения функции и её производных высших порядков. Под будем понимать значение производной порядка i в точке . Под производной порядка 0 будем понимать саму функцию. Пусть заданы значения , где j=1,…,k и .

Теорема 2.21 (Интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра)

Существует единственный многочлен h(x) степени меньше , удовлетворяющий равенствам , где j=1,…,k и .

Доказательство. Положим , . Для i=1,…,k определим числа и далее по индукции , где . Многочлен удовлетворяет равенствам: при и , и . Что бы убедится в справедливости равенств найдём производную j порядка . Поскольку при и , то равенства при и установлены. Подставим теперь и получим Подставив вместо равное ему выражение, после приведения подобных, получим равенство . Далее осталось написать интерполяционный многочлен . Поскольку степень каждого слагаемого меньше , то и степень суммы меньше . Единственность интерполяционного многочлена покажем методом от противного. Допустим, существует два интерполяционных многочлена h(x) и g(x). Их разность имеет корнем кратности не меньше и значит, делится на w(x) без остатка. Поскольку степень w(x) заведомо больше чем степень h(x)-g(x), то h(x)=g(x).