Производные высоких порядков

Производную порядка k от многочлена f(x) обозначим . При k=0 под будем понимать исходный многочлен.

Лемма 2.1

.

Доказательство проведём индукцией по j. При j=1 получаем формулу дифференцирования произведения. Пусть формула верна для j-1. Покажем её справедливость для j. Имеют место равенства. Взяв производную от каждого слагаемого, приведя подобные, получим требуемое равенство.

Следствие 2.7 Условие при i=0,…,k-1 и равносильно тому, что - корень f(x) кратности k.

Доказательство. Пусть - корень f(x) кратности k, тогда , причём . Производная порядка i равна . Подставив получим равенства при i=0,…,k-1 и . Обратно, разложим f(x) по степеням , т.е. . Легко проверить и значит - корень f(x) кратности k.

10. Содержание

    • Натуральные числа
    • Метод математической индукции.
    • Бином Ньютона, треугольник Паскаля
    • Целые числа
    • Рациональные числа
    • Числовые кольца, поля
    • Вещественные числа
    • Поле комплексных чисел
    • Комплексная плоскость.
    • Извлечение корней, корни из единицы
    • Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
    • Разложение рациональных функций в сумму дробей.
    • Неприводимый многочлен, его свойства
    • Из вытекает, либо , либо .
    • Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.
    • Корень многочлена.
    • Интерполяционный многочлен
    • Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
    • Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
    • Разложение многочлена над полем рациональных чисел
    • Примитивный многочлен, его свойства
    • Критерий Эйзенштейна
    • Все коэффициенты многочлена f(X), кроме старшего, делятся на p
    • Старший коэффициент не делится на p
    • Свободный член не делится на
    • Метод Кронекера разложения многочлена на неприводимые многочлены над кольцом целых чисел.
    • Рациональные корни.
    • Присоединение корня. Поле разложения многочлена.
    • Формальная производная, ее свойства
    • Производные высоких порядков
    • Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
    • Формулы Виета
    • Симметрические полиномы
    • Формулы Кардано
    • Способ Феррари
    • Дискриминант
    • Основная теорема Алгебры
    • Разложение многочлена на неприводимые множители над полем вещественных чисел
    • Теорема Штурма
    • Любые два соседних многочлена не имеют общих корней
    • Последний многочлен не имеет вещественных корней.
    • Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а если убывает, то
    • Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
    • Равносильные преобразования
    • Умножение строки не ненулевое число.
    • Перестановка строк
    • Прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на число.
    • Метод Гаусса.
    • Перестановки
    • Четность перестановок
    • Определитель
    • Свойства определителя
    • Изменит знак при перестановке столбцов
    • Равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
    • Не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.
    • Вычисление определителей произвольных порядков
    • Определитель Вандермонда
    • Теорема Лапласа
    • Умножение матриц
    • Формула Бине-Кощи
    • Операции с матрицами
    • Обратная матрица
    • Правило Крамера
    • Матрица элементарных преобразований
    • Построение обратной матрицы
    • Блочные матрицы
    • Алгоритм Штрассена
    • Кронекерово произведение
    • Формула Фробениуса
    • Линейные пространства.
    • . Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
    • Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
    • . Прямая сумма подпространств. Проекция.
    • Изменение координат вектора при изменении базиса.
    • Изоморфизм линейных пространств.
    • Задание прямой и плоскости в пространстве. Деление отрезка. Задачи.
    • Ранги матрицы.
    • Общее решение системы линейных уравнений.
    • Двойственное пространство
    • Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
    • Геометрия на плоскости и в пространстве.
    • Скалярное произведение.
    • Симметричность .
    • Векторное и смешанное произведение.
    • Уравнение прямой и плоскости в пространстве
    • Евклидово пространство. Скалярное произведение.
    • Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
    • Ортогональность.