1) Частные виды матриц.

Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами.

Виды: 1) прямоугольная 2) строка 3) столбец 4) квадратная 5) треугольная 6) диагональная и скалярная 7) еденичная 8)симметричная и косеметричная

Умножение матриц

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц

Произведениемматрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

где , .

Свойства умножения

--ассоциативностьумножения;

, где-- число;

,--дистрибутивностьумножения;,, где-- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл.

Доказательство ассоциативности.

На протяжении всего доказательства предполагается, что -- матрица размеров.

Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрицадолжна иметь размеры. Произведениеобозначим буквой. Тогда матрицаимеет размеры. Чтобы произведениебыло определено, матрицадолжна иметь размеры. Матрицуобозначим, матрицуобозначим, матрицуобозначим. Покажем, что элементы, стоящие в-ой строке и-ом столбце матрици, равны друг другу, то есть что.

По определению

Подставив из второго равенства в первое, получим

В силу предложения 14.1

В силу предложения 14.3 (14.6)

С другой стороны

откуда

Применим предложение 14.1

Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что .

Ассоциативность умножения доказана...

Доказательство дистрибутивности.

. Чтобы произведение было определено, матрицыидолжны иметь размеры. Положим,,,,. Для доказательства равенства, нужно доказать, что,,.

Так как , то

По определению суммы матриц, . Следовательно,

(14.7)

С другой стороны,

Тогда

Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано…

Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице:

Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящей размерности равно нулевой матрице:

Если и— квадратные матрицы одного и того же порядка, то произведение матриц обладает ещё рядом свойств.

Умножение матриц в целом некоммутативно:

Если , то матрицыиназываются перестановочными или коммутирующими между собой.

Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц: