28 Производная обратной функции
Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функцияимеет обратную функцию, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале, в который функцияпереводит интервал. Пусть-- фиксированная точка и-- точка, ей соответствующая. Тогда.
ТеоремаПусть функцияимеет в точкепроизводную. Тогда обратная функцияимеет в соответствующей точкепроизводную, которую можно отыскать по формуле
| (4.14) |
Доказательство. Дадим аргументуприращение, такое что, и рассмотрим соответствующее приращение, определяемое равенством. Тогда, очевидно,; при этом, а из монотонности функцииследует, что. Поскольку как функция, так и функциянепрерывны, то условияиэквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функциии запишем для него очевидное равенство:
Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этомтоже стремится к 0:
что мы и хотели доказать.
- Экзамен по матану
- 1) Частные виды матриц.
- 2) Определители. Правила вычисления
- 3) Свойства определителей
- 4) Обратная матрица, вычисление, приложение.
- 5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
- 6) Теорема Кронекера – Капели
- 7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.
- 8)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- 9) Решение неопределённых систем линейных уравнений.
- 10) Однородные системы линейных уравнений
- 11. Векторы. Линейные операции над векторами
- 12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.
- 13. Векторное произведение векторов
- 14.Смешанное произведение векторов
- 15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.
- 16.Вывести параметрическое и каноническое уравнение прямой на плоскости.
- 17.Общее уравнение плоскости вывод исследование
- 18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.
- 19.Каноническое и общее уравнение прямой в пространстве
- 20.Цилиндрические и канонические поверхности
- 21. Теорема о разности между переменной и её пределом ( Основная т. О пределах)
- 22.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых величин
- 23.Первый замечательный предел
- 24.Сравнение бесконечно малых функция и свойства эквивалентных
- 25.Точки разрыва и их классификации
- 26.Теоремы о производных суммы, произведения и частного двух функций.
- 27.Вывод производных тригонометрических функций sincostgctg
- 28 Производная обратной функции
- 29.Вывод производной и логарифмический показатель функции (axиlogax)
- 31. Производная неявной функции. Производная функции заданной параметрически.
- 32.Теорема ферма
- 33.Теорема Роля
- 34.Теорема Коши
- 35. Теорема Лопиталя
- 36. Раскрытие неопределённости вида 0*∞, ∞-∞, 1∞
- 37. Условие монотонности. Необходимое условие экстремума.