5. . Квантовая теория спина. Сфера Римана

423

Попробуем представить все вышесказанное в более явном и геометрически наглядном виде. Такое представление поможет нам увидеть, что комплексные весовые коэффициенты и z вовсе не являются такими уж абстрактными конструкциями, какими они могли показаться на первый взгляд. Более того, к геометрии пространства они имеют самое непосредственное отношение. (Мне думается, такие геометрические воплощения понравились бы Кардано и, возможно, облегчили бы его "мучения разума" - впрочем, и квантовая теория вполне исправно снабжает наши разумы все новыми мучениями!)

Для начала будет весьма полезно ознакомиться со ставшим уже стандартным представлением комплексных чисел в виде точек на плоскости. (У этой плоскости много названий: плоскость Арганда, плоскость Гаусса, плоскость Весселя или просто комплексная плоскость.) Идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие комплексному числу (где х и у - веще-

Рис. 5.16. Представление комплексного числа в виде точки на комплексной плоскости (плоскости Арганда - Гаусса-Весселя).

ственные числа) точку, координаты которой в некоторой заданной прямоугольной системе координат равны (х, у) (см. рис. 5.16). Таким образом, например, четыре комплексных числа 1, 1 + г, г и 0 образуют на комплексной плоскости квадрат. Существуют простые геометрические правила для отыскания суммы и произведения двух комплексных чисел (см. рис. 5.17). Отрицательное комплексное число -z находится отражением точки, соответствующей числу , относительно начала координат; комплексное сопряженное z - отражением точки z относительно оси х.

424

Смена знака:

отражение

относительно

начала координат

424 Глава 5

Рис. 5.17. Геометрические описания основных операций над комплексными числами.

Модуль комплексного числа равен расстоянию от соответствующей этому числу точки до начала координат; квадрат модуля, таким образом, равен квадрату этого расстояния. Точки, расстояние от которых до начала координат равно единице, образуют единичную окружность (см. рис. 5.18). Этим точкам соответствуют комплексные числа с единичным модулем, называемые иногда чистыми фазами; эти числа можно записать в виде

)

здесь в - вещественное число, равное величине угла между прямой, соединяющей начало координат с соответствующей этому числу точкой, и осью

Теперь выясним, как в таком представлении выглядят отношения комплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное число состояние не претерпевает физических изменений (например, если помните, состояния мы полагали физи-

Вещественное число е называется "основанием натурального логарифма": е = 2,7182818285 .... Запись ez означает "число е в степени г"; для вычисления значения такого выражения используют следующее разложение: