2.10. Возможные формальные возражения против 187

или, точнее, скажем так:

"система Н непротиворечива", а следовательно, "высказывание G (И) истинно".

Если говорить о реальном смысле этих утверждений, то из них, в сущности, следует, что высказывание G (H) также утверждается системой. А так как (что касается первого из двух вышеприведенных утверждений) истинность любого производимого системой Н утверждения, во всяком случае, обусловлена допущением, что система Н обоснованна, то получается, что если система Н утверждает нечто, явно обусловленное ее собственной обоснованностью, то она вполне может утверждать это напрямую. (Из утверждения "если мне можно верить, то X истинно" следует более простое утверждение, исходящее из того же источника: "X истинно".) Однако в действительности обоснованная формальная система Н не может утверждать истинность высказывания G(H), что является следствием ее неспособности утверждать собственную обоснованность. Более того, как мы видим, она не может включать в себя и смысл символов, которыми оперирует. Те же факты годятся и для иллюстрации второго утверждения, причем в этом случае ко всему прочему добавляется и некоторая ирония: система И не способна утверждать собственную непротиворечивость лишь в том случае, если она действительно непротиворечива, если же формальная система непротиворечивой не является, то подобные ограничения ей неведомы. Противоречивая формальная система И может утверждать (в качестве "теоремы") вообще все, что она в состоянии сформулировать! Она вполне может, как выясняется, сформулировать и утверждение: "система Н непротиворечива". Формальная система (достаточно обширная) утверждает собственную непротиворечивость тогда и только тогда, когда она противоречива

Q19. Почему бы нам просто не учредить процедуру многократного добавления высказывания G (F) к любой системе F, какой мы в данным момент пользуемся, и не позволить этой процедуре выполняться бесконечно?

Когда нам дана какая-либо конкретная формальная система F, достаточно обширная и полагаемая обоснованной, мы в состоянии понять, как добавить к ней высказывание G (F) в качестве новой аксиомы и получить тем самым новую систему

188 Глава 2

которая также будет считаться обоснованной. (Для согласования обозначений в последующем изложении систему F можно также обозначить через FQ.) Теперь мы можем добавить к системе высказывание G , получив в результате новую систему также, предположительно, обоснованную. Повторив данную процедуру, т. е. добавив к системе F2 высказывание G (F2), получим систему и т. д. Приложив еще совсем немного усилий, мы непременно сообразим, как построить еще одну формальную систему , аксиомы которой позволят нам включить в систему в качестве дополнительных аксиом для F все бесконечное множество высказываний . Очевидно, что система также будет обоснованной. Этот процесс можно продолжить и дальше: к системе добавляется высказывание , в результате чего получается система , к которой затем добавляется высказывание , что дает систему , и т.д. Далее, как и в предыдущий раз, мы можем построить формальную систему , включив в нее весь бесконечный набор соответствующих аксиом, каковая система опять-таки окажется очевидно обоснованной. Добавлением к ней высказывания , получим систему и т. д., а потом построим новую систему , включив в нее опять-таки бесконечное множество аксиом. Повторив всю вышеописанную процедуру, мы сможем получить формальную систему , после следующего повтора - систему и т. д. Еще чуть-чуть потрудиться, и мы обязательно увидим, как можно включить уже это множество новых аксиом

в новую формальную систему . Повторив всю про-

цедуру, мы получим новую систему , затем - систе-

му и т.д.; в конце концов, когда мы сообразим, как

связать все это вместе (разумеется, и на этот раз не без некоторого напряжения умственных способностей), наши старания приведут нас к еще более всеобъемлющей системе , которая также должна быть обоснованной.

Читатели, которые знакомы с понятием канторовых транс-финитных, ординалов, несомненно, узнают индексы, обычно используемые для обозначения таких чисел. Тем же, кто от подобных вещей далек, не стоит беспокоиться из-за незнания точного значения этих символов. Достаточно сказать, что описанную процедуру "гёделизации" можно продолжить и далее: мы получим формальные системы , ..., после чего придем