1.10. Интегрирующий множитель

Определение. Если уравнение не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция – такая, что после умножения на неё обеих частей уравнения получающееся дифференциальное уравнение

становится уравнением в полных дифференциалах, т.е. , то функция называется интегрирующим множителем исходного уравнения.

В случае, когда уравнение является уравнением в полных дифференциалах, полагают .

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то имеем тождество:

.

Из этого тождества следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет уравнению с частными производными 1-го порядка:

. (10.1)

Если заранее известно, что , где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:

, (10.2)

где

,

т.е. указанная дробь является функцией только переменной ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

, .

В частности, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x ( ) или только от y ( ), если выполнены соответственно следующие условия:

,

или

, .