Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения

называется такая функция не равная тождественно нулю, после умножения на которую левая часть этого уравнения становится полным дифференциалом, а само уравнение – уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению с частными производными

первого порядка

Но, если известно частное решение этого уравнения, то исходное уравнение интегрируемо в квадратурах.

П р и м е р 8. Проинтегрировать уравнение

Уравнение для имеет вид

Попытаемся найти частное решение в виде Подстановка этой функции в последнее уравнение обращает его в тождество при m = n = -2 , следовательно Умножая исходное уравнение на эту функцию, превращаем его в уравнение в полных дифференциалах: Отсюда имеем два уравнения:

Здесь проще проинтегрировать второе уравнение по у : Подставляя это в первое уравнение, получим откуда Окончательно

4. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
   • 5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
   • Предисловие
   • Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
   • 1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной.
   • Особые решения
   • Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
   • 2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
   • Уравнение вида
   • Однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Уравнение Бернулли
   • 2.7 Уравнение вида
   • Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
   • 3.1 Уравнение в полных дифференциалах
   • Интегрирующий множитель
   • Уравнение Риккати
   • Использование частных решений для построения общего решения
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной
   • 5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
   • Уравнения вида
   • Уравнения вида
   • Уравнение Клеро
   • 5.5 Уравнение Лагранжа
   • Приближенные аналитические методы решения уравнений
   • 6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
   • Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
   • Метод регулярного разложения по малому параметру
   • Список литературы
   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 446086 Самара, Московское шоссе, 34.

   Yandex.RTB R-A-252273-4