Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]:

0 F (х) 1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х)--неубывающая функция, т. е.

F (x2) F (х1), если х2 > х1.

Доказательство. Пусть х2 > х1. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее х2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) X примет значение, меньшее х1, с вероятностью Р (X < x1); 2) X примет значение, удовлетворяющее неравенству x1Xx2, с вероятностью Р (x1Xx2). По теореме сложения имеем

Р (X < х2) = Р (X < х1) + Р (x1Xx2).

Отсюда

Р (X < х2) - Р (X < х1)= Р (x1Xx2),

или

F (x2)--F (x1) = Р (x1Xx2).

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2) -- F(x1)0, или F (x2) F (x1), что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX<b)=F(b)--F(a).

Это важное следствие вытекает из формулы, если положить х2=b и х1= а.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле а = х1, b = х1+, имеем

P(х1 X<х1+)=F(х1+)-F(х1).

Устремим к нулю. Так как X -- непрерывная случайная величина, то функция F (х) непрерывна. В силу непрерывности F (х) в точке х1 разность F (х1+)-- F (x1) также стремится к нулю; следовательно, Р (X =х1) = 0. Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств

Р (а X < b) = Р (а < X < b) = Р(а<Хb) = Р(аХb). (***)

Например, равенство Р(а<Хb) = Р (а < X < b) доказывается так:

Р(а<Хb) = Р (а < X < b)+P(X=b)= Р(а<Х<b).

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р (X =х1) означает, что событие Х=х1 невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х1.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при х а; 2) F(x)=1 при х b.

Доказательство. 1) Пусть x1 a. Тогда событие X < х1 невозможно (так как значений, меньших х1, величина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х2 b. Тогда событие X < х2 достоверно (так как все возможные значения X меньше х2) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: