Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и s. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, s--среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

M(X)=

Введем новую переменную z = (x--а)/--s. Отсюда x=--sz+a, dx=--sdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

M(X)=

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a ( интеграл Пуассона ).

Итак, М(Х) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М(Х) = а, имеем

D(X)=

Введем новую переменную z = (x--а)/--s. Отсюда х--a = sz, dx = s_dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

D(X)=

Интегрируя по частям, положив u = z, dv=, найдем

D(X)=--s2.

Следовательно,

s(X)=.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру s.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и s (s > 0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и s=1. Например, если X -- нормальная величина с параметрами а и s, то U =(X -- а)/--s -- нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, s(U)=1.

Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована (см. приложение 1).

Замечание 2. Функция F(х) общего нормального распределения (см. гл. XI, § 3)

а функция нормированного распределения

Функция Fo (x) табулирована. Легко проверить, что

F(x)=F0((x-a)/ s).

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа Действительно,

P(0<X<x)=

Замечание 4. Учитывая, что , и, следовательно, в силу симметрии j(х) относительно нуля

, а значит, и Р (- < X < 0)=0,5,

легко получить, что

F0(x)=0,5+(x).

Действительно,

F0(x)=P(-<X<x)=P(-<X<0)+P(0<X<x)=0,5+(x).