Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть F (х)--функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения, f (х) = F (х), или в иной форме

Как уже известно, разность F(x+x)-- F (х) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (х, x+x). Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х,x+x), к длине этого интервала (при x0) равен значению плотности распределения в точке х.

По аналогии с определением плотности массы в точке (Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некоторому закону, например F (х), то плотностью р (х) массы в точке х называют предел отношения массы интервала (х, х+ х) к длине интервала при , т. е. р (х) = целесообразно рассматривать значение функции f (х) в точке x; как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

F ( х+ х) -- F (х) dF (х),

или

F ( х+ х) -- F (х) F dх.

Так как F(x) = f(x) и dx= х, то

F ( х+ х) -- F (х) f(x) х.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + х), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно х) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала х.

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х+ х), приближенно равна площади прямоугольника с основанием х; и высотой f (х).

На рис. 5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению f(x)х, лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом ). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника ABC.