Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Р(а<Х<b) =

Доказательство. Используем соотношение (**) (см. гл. X, § 2)

Р(а Х<b) = F(b) -- F(a).

По формуле Ньютона -- Лейбница,

F(b) -- F(a)=.

Таким образом,

Р(а Х<b) =

Так как Р(а Х<b) = Р(а<Х<b),то окончательно получим

Р(а<Х<b) = (*)

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (х) и прямыми х =а и х=b.

Замечание. В частности, если f (х) -- четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Р(-а<Х<a) = Р(|Х|<a) =2