Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х-- а|<--d.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

-- d <Х -- а<--d, или а -- d < X<a+--d.

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

Ф( ----d /--s) = --Ф(d /--s )

(функция Лапласа -- нечетная), окончательно имеем

Р (| X -- а |< d) = 2Ф (d /--s).

В частности, при а = 0

Р (| X |< d) = 2Ф (d /--s).

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а=О, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (--d,d), больше у той величины, которая имеет меньшее значение s. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s (s есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X -- а|<d и |Х--а|d, -- противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X -- а| < d равна р, то вероятность неравенства |Х--а|d равна 1--р.