Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

y=

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: , т. е. ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4.Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

Легко видеть, что у = 0 при х = а, у > 0 при х < а, у < 0 при х> а.

Следовательно, при х = а функция имеет максимум, равный

5.Разность х--а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х= а.

6.Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

Легко видеть, что при х = а+s и х= а----s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1/(e)). Таким образом, точки графика (а----s, 1/(e)) и (а + s, 1/(e)) являются точками перегиба.

На рис. 7 изображена нормальная кривая при а=1,--s=--2