logo
Дифуры

[Править] Алгоритм решения

(1)

(2)

(3)

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*)

Подставим в (3).2:

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

6) Теорема Пикара.

2.3.1. Постановка задачи. Рассматривается задача Коши

x′ = f(t, x),

(НС)

x(t0) = x0,

(НУ)

состоящая из нормальной системы (НС) и начального условия (НУ). Предполагается, что

f: [a, b]×Rn → Rn;

(1)

функция f(t, x) непрерывна по t при любом фиксированном x;

(2)

f(t, x) удовлетворяет по x условию Липшица с некоторой константой L: ||f(t, x) – f(t, y)|| ≤ L||x – y|| (t ∈ [a, b]; x, y ∈ Rn).

(3)

2.3.3. Формулировка теоремы Коши — Пикара. Пусть выполнены условия (1) – (3). Тогда:

1) задача (НС), (НУ) имеет на [a, b] единственное решение φ;

2) последовательные приближения (4), (5) сходятся на [a, b] к φ, причем справедлива следующая оценка погрешности k-го приближения:

||φk(t) – φ(t)|| ≤ L2

ck

k!

(8)

где

L2 = L1ec, L1 = ||φ0 – φ1||, c = L·(b – a),

L — константа из условия Липшица  (3).

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4