6.6.2 Нахождение общего решения линейного неоднородного уравнения порядка n с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Решение линейного неоднородного уравнения (6.40) находят в два этапа (следуя теореме о структуре общего решения):

1. ищется решение соответствующего однородного уравнения (при ); отыскание изложено в п. 6.6.1;

2. ищется какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение уравнения (6.40) получается в виде суммы (6.42) найденных решений. На втором этапе можно осуществить нахождение общего решения неоднородного уравнения по методу вариации произвольных постоянных (п. 6.5.7).

Мы рассмотрим способ неопределенных коэффициентов построения частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Правую часть уравнения (6.40) называют специальной, если

где , – многочлены степени m и l соответственно.

Метод неопределённых коэффициентов основан на том, что частное решение следует искать в том же виде, что и правая часть уравнения с поправкой, зависящей от корней характеристического уравнения. По виду правой части (6.45) образуем комплексное число .

Если среди корней характеристического уравнения нет корней равных , то частное решение ищется в том же виде, что и правая часть , где , – многочлены степени с неопределёнными коэффициентами.

Если же число является корнем кратности s характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

,

где , – многочлены степени с неопределёнными коэффициентами.

Коэффициенты многочленов , найдём следующим образом: подставим в исходное уравнение (6.40) с правой частью специального вида (6.45).

Используя тождественность равенства, полученного после подстановки , приравниваем коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях , , и решаем полученную при этом систему алгебраических уравнений. Можно доказать, что эта система линейных алгебраических уравнений всегда имеет единственное решение.

В таблице 5 приводятся различные частные случаи правых частей и соответствующие виды частных решений.

Таблица 5

Пример 81 Найти общее решение уравнения

,

если 1) , 2) .

Решение: Найдём вначале общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , . Фундаментальную систему решений образуют функции , , поэтому общее решение однородного уравнения

.

Применим метод неопределённых коэффициентов для нахождения частных решений неоднородного уравнения (для заданных функций ).

1. . В этом случае, число ( ) является простым корнем характеристического уравнения (случай 1б) в таблице 5, поэтому частное решение ищем в виде . Для определения коэффициентов А, В, С продифференцируем дважды и подставим в исходное уравнение при .

Запись удобно вести в следующем виде:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения (после подстановки ). Наивысшая степень . Запись удобно вести следующим образом:

Следовательно, , и общее решение имеет вид

.

2. , число не является корнем характеристического уравнения (таблица 2, п. 2а)), поэтому частное решение ищем в виде .

Проделаем те же процедуры, что и в предыдущем случае

После подстановки в заданное уравнение и производных, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х (на можно разделить обе части уравнения).

Получаем частное решение и общее решение

.

Пример 82 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Найдём вначале общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни и получаем общее решение однородного уравнения

.

Правая часть уравнения состоит из суммы двух функций и , поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде суммы двух функций и (см. свойство 2 п. 6.5.7). Для первого слагаемого проверяем число , которое является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде (табл. 5, случай 3б))

.

Во втором случае для проверяем число , которое не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде (таблица 5, случай 4а))

.

Коэффициенты , , , , , находятся по схеме примера 81

Приравниваем коэффициенты при , , , :

Частное решение (для функции )

.

Найдём теперь функцию

Составим систему уравнений для нахождения , , , :

Получаем .

Общее решение заданного уравнения

.

Приведём ещё примеры на определение вида частного решения для уравнений со специальной правой частью.

Пример 83 Найти общее решение уравнения

,

если 1) ; 2) ; 3) .

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Найдём вид частного решения в каждом из трёх случаев.

1. Число 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому .

2. Число не является корнем характеристического уравнения, поэтому .

3. Число является корнем характеристического уравнения, поэтому .

Общее решение заданного уравнения получаем в виде

, .