6.5.8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ)

которое можно записать с помощью линейного дифференциального оператора в виде

Коэффициенты , …, и правую часть предполагаем непрерывными на промежутке , так что для уравнения (6.35) имеет место теорема существования и единственности решения.

В п. 6.5.2 рассматривались свойства линейного дифференциального оператора. Проведём ещё несколько свойств этого оператора.

Свойство 1 Если функция является решением однородного уравнения , а функция z – частное решение неоднородного уравнения , то их сумма является решением неоднородного уравнения .

Действительно, если и , то

,

что и утверждается.

Свойство 2 Если правая часть неоднородного уравнения (6.35) есть сумма двух функций, т.е.

,

то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями и .

Доказательство этого свойства следует из линейности оператора L.

Свойство 3 Если уравнение ( – мнимая единица), где и – действительные функции, имеет решение , то действительная часть решения и мнимая часть решения являются соответственно решениями уравнений и .

В частности, если уравнение однородное , то и действительная часть и мнимая часть являются решениями однородного уравнения.

Доказательство. Пусть . Тогда . Из равенства комплексных чисел следует, что мнимые и действительные их части равны, т.е. и .

Структура общего решения ЛНДУ раскрывается в следующей теореме.

Теорема. Общее решение уравнения , равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.

Доказательство. Пусть , фундаментальная система решений однородного уравнения, тогда общее решение этого уравнения

,

где – произвольные постоянные (п. 6.5.5). Надо доказать, что функция

является общим решением неоднородного уравнения . Дальнейшие рассуждения почти дословно совпадают с рассуждениями в доказательстве теоремы о структуре общего решения однородного уравнения (п. 6.5.5).

Пример 74 Рассмотрим дифференциальное уравнение

.

Нетрудно проверить, что функции и образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (проверьте, что эти функции являются решениями и линейно независимы). Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где , – произвольные постоянные. Кроме того, функция является частным решением заданного неоднородного уравнения. Из доказанной теоремы следует, что общее решение заданного уравнения имеет вид

.

Если общее решение однородного уравнения известно и имеет вид

,

то нахождение общего решения неоднородного уравнения можно осуществить методом вариации произвольных постоянных.

Продемонстрируем этот метод для случая уравнения второго порядка

Пусть и – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения ,

и общее решение этого уравнения , где и – произвольные постоянные.

Идея метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищется в том же виде, но при этом считаем постоянные и некоторыми функциями от х , , т.е. решение ищем в виде

Подчиним функции , следующим условиям:

Эта система называется системой Лагранжа.

Определителем системы (6.39) является вронскиан функций , , которые линейно независимы. Следовательно, вронскиан отличен от нуля и система всегда имеет единственное решение , . Интегрируя функции, найденные в результате решения системы, и подставляя результат в (6.38), получим искомое решение неоднородного уравнения. Непосредственная подстановка функции (6.38) в исходное уравнение (6.37) показывает, что при выполнении условий (6.39) уравнение удовлетворяется.

Замечание. Метод вариации произвольных постоянных применим в случае уравнения порядка n . При этом система Лагранжа принимает вид

где , , …, – фундаментальная система решений однородного уравнения .

Пример 75 Найти общее решение уравнения

.

Решение: В конце п. 6.5.6 найдено, что фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения , . Решение заданного уравнения ищем в виде

.

Система Лагранжа в этом случае имеет вид

из которой находим , .

Интегрируем последние равенства , , где , – постоянные.

Общее решение заданного уравнения

.