Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа имеет вид Полагая дифференцируя по и заменяя на приводим это уравнение к линейному относительно как функцию Находя решение этого последнего уравнения получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример 7.4. Решить уравнение

Данное уравнение является уравнением Лагранжа, т.к.

Введение параметра с последующим дифференцированием обеих частей уравнения приводит к следующему соотношению: или или

Используя замену, сводим последнее выражение к уравнению в разделяющихся переменных

Интегрируя последнее выражение, получим

Подставляя обратную замену получим общее решение исходного уравнения

Уравнение Клеро имеет вид Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

Пример 7.5. Решить уравнение Исходное уравнение является уравнением Клеро. Введем параметр (7.5)

Продифференцируем обе части уравнения (7.5), получим

Заменяя получим Решая последнее уравнение, получим

Подставляя их в (7.5), получим общее решение данного уравнения