6.5.6 Структура общего решения лоду порядка n

Для построения общего решения ЛОДУ порядка n достаточно найти любую фундаментальную систему решений, т.е. построить множество всех решений этого уравнения, основываясь на следующей теореме.

Теорема. Если , , …, – фундаментальная система решения ЛОДУ , то общее решение этого уравнения представимо в виде линейной комбинации

где , , …, – произвольные постоянные.

Доказательство. Следуя определению общего решения, надо доказать, что функция , определённая равенством (6.31), является решением уравнения и при любых начальных условиях можно подобрать постоянные , , …, так, чтобы эти условия удовлетворялись. Функция , определённая равенством (6.31), является решением уравнения по свойству 3 линейного оператора l (п. 6.5.2) при любых постоянных , , …, .

Пусть заданы начальные условия:

, , …, ,

где , в котором коэффициенты уравнения непрерывны. Подставляя функцию (6.31) в начальные условия, получим систему n уравнений, которой должны удовлетворять постоянные , , …, .

Определитель этой системы есть вронскиан системы функций , , …, и так как эти функции являются линейно независимыми решениями уравнения , то (теорема из п. 6.5.3). Поэтому система (6.32) имеет единственное решение при любых правых частях, т.е. существует единственный набор постоянных , , …, , при котором удовлетворяются начальные условия. Теорема доказана.

Замечание. По теореме существования и единственности всякое решение уравнения единственным образом определяется заданием начальных условий, поэтому из доказанной теоремы следует, что по формуле (6.31) можно получить любое решение ЛОДУ .

Следствие. Всякие m ( ) решений ЛОДУ порядка n являются линейно зависимыми.

Действительно, пусть , , …, заданные решения. Рассмотрим первые n из них , , …, . Эти решения линейно независимы, так как в противном случае все m решений были бы линейно зависимы (свойство 2, п. 6.5.2), поэтому они образуют фундаментальную систему решений и функция

.

где , , …, – произвольные постоянные, являются общим решением уравнения . При определённом выборе постоянных можно, в частности, получить решение

.

А это означает, что функции , , …, , – линейно зависимы, а следовательно, все m функций , , …, , …, тоже линейно зависимы. Следствие доказано.