6.6.1 Нахождение общего решения линейного однородного уравнения порядка n с постоянными коэффициентами

Решение однородного уравнения (6.40) ( ) ищем в виде , где – неизвестный параметр. Подставляя эту функцию в уравнение, получим , так как . Функция и поэтому для неизвестного параметра имеем уравнение

которое называется характеристическим уравнением.

Очевидно, что для того чтобы функция была решением однородного уравнения , необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем характеристического уравнения (6.43). Итак, решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами сводится к нахождению всех корней характеристического уравнения (6.43).

Рассмотрим вначале случай уравнения второго порядка:

Характеристическое уравнение . При решении этого квадратного уравнения могут представиться три случая.

Первый случай. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим их и . Фундаментальная система решений: , (можно проверить, что эти функции линейно независимы при ). Поэтому, согласно (6.41), получаем общее решение дифференциального уравнения (6.44):

.

Пример 76 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , , поэтому функции , образуют фундаментальную систему решений и общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

Второй случай. Корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Фундаментальную систему решений в этом случае образуют функции , и общее решение дифференциального уравнения:

или .

Пример 77 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет равные корни . Функции и образуют фундаментальную систему решений, и общее решение дифференциального уравнения

.

Третий случай. Корни характеристического уравнения комплексные (комплексно-сопряжённые), т.е. , где , – действительные числа. По свойству показательной функции (формула Эйлера) имеем

.

Используя свойство 3 (п. 6.5.7), получим, что функции и образуют фундаментальную систему решений и общее решение дифференциального уравнения

или

.

Замечание. Полученная пара функций , также образует фундаментальную систему решений, и в некоторых приложениях используют общее решение уравнения в виде

.

Пример 78 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение , поэтому функции , образуют фундаментальную систему решений и общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Выводы этих трёх случаев приведём в таблице 4

Таблица 4

Обобщим эти результаты на ЛОДУ порядка n с характеристическим уравнением (6.43). Пусть корни этого уравнения кратности , . Тогда

1. каждому действительному корню кратности , соответствует линейно независимых решений

, , …, ,

2. каждой паре комплексно-сопряжённых корней кратности соответствует линейно независимых решений

, , …, ,

, , …, .

Пример 79 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни (второй кратности), . Фундаментальную систему решений образуют функции

, , , ,

и поэтому общее решение имеет вид

.

Пример 80 Найти общее решение уравнения

.

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , (корни второй кратности). Фундаментальную систему решений образуют функции

, , , , ,

и получаем общее решение в виде

.