6.5.5 Фундаментальная система решения лоду порядка n

Определение. Фундаментальной системой решений ЛОДУ порядка n называется совокупность n любых его линейно независимых решений.

Теорема. Всякое ЛОДУ порядка n имеет фундаментальную систему решений в промежутке, где коэффициенты уравнения непрерывны.

Доказательство. Найдём n решений , , …, дифференциального уравнения , удовлетворяющих следующим начальным условиям:

где .

В силу теоремы существования и единственности эти решения , , …, существуют и единственны. Очевидно, что вронскиан этих решений

и, следовательно, решения линейно независимы (п. 6.5.3), т.е. образуют фундаментальную систему решений уравнения Теорема доказана.

Замечание. При нахождении фундаментальной системы решений можно построить любой другой определитель, отличный от нуля.