6.5.7 Частный случай лоду второго порядка. Формула Лиувилля-Остроградского

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка

Коэффициенты , непрерывны на промежутке . Пусть и – фундаментальная система решений уравнения (6.33). Определитель Вронского этих функций

,

а его производная . Так как и удовлетворяют ЛОДУ (6.33), то нетрудно проверить, что

.

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим

.

Откуда

.

Подставляя в это равенство , получим формулу Луивилля-Остроградского:

Замечание 1 Формула Луивилля-Остроградского справедлива и для уравнения порядка n.

Замечание 2 Из формулы Луивилля-Остроградского непосредственно следует свойство вронскиана, составленного из n решений ЛОДУ порядка n (см. замечание п. 6.5.3):

1. либо вронскиан равен нулю на всём промежутке , в этом случае функции линейно зависимы;

2. либо вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке промежутка , в этом случае функции линейно независимы.

Замечание 3 Линейное дифференциальное уравнение (6.33) можно преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка (уравнением Риккати) с помощью подстановки . В результате получим уравнение .

Замечание 4 Уравнение (6.33) обладает важным свойством: если известно одно частное решение уравнения (6.33), то можно определить с помощью интегрирования второе частное решение этого уравнения, линейно независимое от первого, т.е. найти общее решение уравнения. Действительно, пусть некоторое частное решение уравнения (6.33). Для получения второго частного решения воспользуемся формулой Луивилля-Остроградского.

Запишем её в виде , и разделим обе части на , получим

или .

Интегрируя обе части последнего равенства и затем умножая на , получим искомую функцию

Полагая (а это означает, что вронскиан отличен от нуля в некоторой точке), получим решение уравнения (6.33) линейно независимое от .

Пример 73 Рассмотрим уравнение

, , .

Нетрудно проверить, что функция является решением этого уравнения. Воспользуемся формулой (6.35) для нахождения второго частного решения.

.

Общее решение получаем, как линейную комбинацию

.