7.1.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения лнду.

Сущность этого метода решения ЛНДУ состоит в следующем.

• Сначала находится общее решение соответствующего ЛОДУ:

• ,

где и линейно независимые решения ЛОДУ.

• Полагают, что , и общее решение ЛНДУ ищутся в том же виде, что и , т.е. .

• Составляется и решается следующая система уравнений:

(1)

которая имеет единственное решение и , так как определитель этой системы не равен нулю (поскольку и - линейно независимые).

Решение системы (1) находится по формулам

Определитель - называется определителем Вронского для функций и .

• Интегрируя найденные и по находятся

.

• Подставляются найденные и в и записывается общее решение ЛНДУ.

Пример1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение.

• Находим общее решение ЛОДУ: . Характеристическое уравнение . Его корни .

Общее решение ЛОДУ : .

• .

• Общее решение ЛНДУ ищем в виде

.

• Составим и решим систему уравнений вида (18)

.

• Найдем

.

• Интегрируя и , находим и :

• Подставим и в , найдем решение ЛНДУ:

Ответ: .