2.2. Приклад виконання лабораторної роботи №2
Задані результати дослідів: (x,y):
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших квадратів.
-
Знайти відхилення даних точок від знайденої залежності.
-
Побудувати графік, застосовує Excel .
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
x | -1,8 | 0,4 | 0,6 | 2 | 2,9 |
y | 1,6 | 1 | 0,8 | 0,6 | 0,5 |
-
Побудуємо лінійну модель у = ах+в
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів.Треба за зазначеною формулою у = ах+в підібрати коефіцієнти
модели а і в
Побудуємо таблицу:
n | x | x2 | y | xy |
1 | -1.8 | 3.24 | 1.6 | -2.88 |
2 | 0.4 | 0.16 | 1 | 0.4 |
3 | 0.6 | 0.36 | 0.8 | 0.48 |
4 | 2 | 4 | 0.6 | 1.2 |
5 | 2.9 | 8.41 | 0.5 | 1.45 |
4.1 | 16.17 | 4.5 | 0.65 |
Отримуємо систему
16.17 а + 4.1 в = 0.65
4.1 а + 5 в = 4.5
Вирішуючи систему, знайдемо а і в.
Виразимо коефіцієнт в з 2-го рівняння системи
в =
Підставимо в у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо
16.17а+4.1(0.9-0.82а) = 0.65 ,
Знайдемо коефіцієнти:
,
1.09457
Зазначена залежність
у = - 0.23728 х + 1. 09457
2) Знайдемо відхилення даних точок від знайденої залежності
вихідні дані | результат | ||
х | Утаб | Урас | Відхил |
-1.8 | 1.6 | 1.521861 | 0.006106 |
0.4 | 1 | 0.999688 | 9.75E-08 |
0.6 | 0.8 | 0.952217 | 0.02317 |
2 | 0.6 | 0.619925 | 0.000397 |
2.9 | 0.5 | 0.406309 | 0.008778 |
|
| 0.038451 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1 = - 0.23728 (-1.8) + 1. 09457 = 1.521861
………………………………………………….
Урас5 = - 0.23728 (0.5) + 1. 09457 = 0.406309
Відхилення:
Відхил1 =( Утаб1 - Урас1)2 = 0.006106
...........................................................................
Відхил5 =( Утаб5 - Урас5)2 =0.008778
Використання Excel для разв'язку лабораторної роботи №2
(лінійна модель у = ах+в )
Побудуємо таблицю:
х | Утаб | x*x | x*y | Урозр | Відхілення |
-1,8 | 1,6 | 3,24 | -2,88 | 1,5218613 | 0,006106 |
0,4 | 1 | 0,16 | 0,4 | 0,9996877 | 9,75E-08 |
0,6 | 0,8 | 0,36 | 0,48 | 0,9522174 | 0,02317 |
2 | 0,6 | 4 | 1,2 | 0,6199251 | 0,000397 |
2,9 | 0,5 | 8,41 | 1,45 | 0,4063086 | 0,008778 |
4,1 | 4,5 | 16,17 | 0,65 |
| 0,038451 |
3) Побудуємо графік, застосовує Excel
-
Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
а= | 1 |
в= | 1 |
Отримані значення
а= | -0,23735 |
| ||||
в= | 1,094628 |
| ||||
Отчет создан: 05.11.2007 14:13:03 |
| |||||
Целевая ячейка (Минимум) |
| |||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $J$15 | Отклонения | 23,88 | 0,038450968 | ||
Изменяемые ячейки |
|
| ||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $H$1 | а | 1 | -0,23735163 | ||
| $H$2 | в | 1 | 1,09462834 |
-
Побудуємо квадратичну модель у = ах2+вх+с
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів. Треба за зазначеною формулою у = ах2+вх+с підібрати
коефіцієнти модели а , в ,с.
Побудуємо таблицю:
n | x | x2 | y | xy | х3 | х4 | уx2 |
1 | -1.8 | 3.24 | 1.6 | -2.88 | -5.832 | 10.4976 | 5.184 |
2 | 0.4 | 0.16 | 1 | 0.4 | 0.064 | 0,0256 | 0.16 |
3 | 0.6 | 0.36 | 0.8 | 0.48 | 0.216 | 0.1296 | 0.288 |
4 | 2 | 4 | 0.6 | 1.2 | 8 | 16 | 2.4 |
5 | 2.9 | 8.41 | 0.5 | 1.45 | 24.389 | 70.728 | 4.205 |
4.1 | 16.17 | 4.5 | 0.65 | 26.837 | 97.3809 | 12.237 |
Отримуємо систему
97.3809 а + 26.837 в + 16.17 с = 12.237
26.8374.1 а + 16.17 в + 4.1 с = 0.65
16.17 а +4.1 в +5 с =4.5
Виразимо коефіцієнт с з 3-го рівняння системи,
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Підставимо с у перше й друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :
45.08712 а + 13.5776 в = - 2.316
13.5776 а + 12.808 в = - 3.04
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Виразимо коефіцієнт а з 1-его рівняння системи
а = - 0.30114 в – 0.05143
Підставимо а у друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :
8.579936 в = - 2.341704
а = - 0.30114 в – 0.05143
с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в
Знайдемо коефіцієнти:
в = - 0.272928
а = - 0,30114. (- 0.272928 ) – 0.05143 = 0.03076
с = 0.9 – 3.234 . 0.03076 – 0.82 . (- 0.272928 )= 1.02432
Зазначена залежність
у = 0.03076х2- 0.272928х+1.02432
2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності
вихідні дані | результат | ||
х | Утаб | Урас | Відхил |
-1.8 | 1.6 | 1.615425 | 0.00158 |
0.4 | 1 | 0.99607 | 0.002789 |
0.6 | 0.8 | 0.87562 | 0.003527 |
2 | 0.6 | 0.602714 | 0.0001287 |
2.9 | 0.5 | 0.49458 | 0.0005741 |
|
| 0.086008 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1 = 0.03076(-1.8)2- 0.272928(-1.8)+1.02432 =1.615425 ………………………………………………….
Урас 5 = 0.03076 (0.4)2- 0.272928(0.4)+1.02432 =0.99607
Відхилення:
Відхил 1 = ( Утаб1 - Урас1)2 =0.00158
...........................................................................
Відхил 5 = ( Утаб5 - Урас5)2 =0.0005741
Використання Excel для разв’язку лабораторної роботи №2
(квадратична модель у = ах2+вх+с )
Побудуємо таблицю:
х | Утаб | x*x | x*x*x | x*x*x*x | x*y | x*x*y | Урас | Відхил |
|
-1,8 | 1,6 | 3,24 | -5,832 | 10,4976 | -2,88 | 5,184 | 1,615253 | 0,000233 |
|
0,4 | 1 | 0,16 | 0,064 | 0,0256 | 0,4 | 0,16 | 0,92007 | 0,006389 |
|
0,6 | 0,8 | 0,36 | 0,216 | 0,1296 | 0,48 | 0,288 | 0,871637 | 0,005132 |
|
2 | 0,6 | 4 | 8 | 16 | 1,2 | 2,4 | 0,601504 | 2,26E-06 |
|
2,9 | 0,5 | 8,41 | 24,389 | 70,7281 | 1,45 | 4,205 | 0,49152 | 7,19E-05 |
|
4,1 | 4,5 | 16,17 | 26,837 | 97,3809 | 0,65 | 12,24 |
| 0,011827 |
|
3) Побудуємо графік, застосовуючи Excel
4) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
а= | 1 |
в= | 1 |
с= | 1 |
Отримані значення
а= | 0.029539125 |
в= | -0.268665784 |
с= | 1,024776224 |
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам |
| |||
Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1 |
| |||
Отчет создан: 18.09.2009 14:27:14 |
| |||
Целевая ячейка (Минимум) |
|
| ||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат |
| $J$180 | cymma: Отклонения | 182,8009 | 0,011668809 |
Изменяемые ячейки |
|
| ||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат |
| $F$183 | a= | 1 | 0,029539125 |
| $F$184 | b= | 1 | -0,268665784 |
| $F$185 | с= | 1 | 1,024776224 |
Ограничения |
|
| ||
| НЕТ |
|
|
|
3. Побудуємо експонентну модель у = в еа х
1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших
квадратів.Треба за зазначеною формулою у = в еа х підібрати коефіцієнти
модели а і в
Побудуємо таблицю:
n | x | x2 | y | У=LN(y) | xУ |
1 | -1.8 | 3.24 | 1.6 | 0.470004 | -0.84007 |
2 | 0.4 | 0.16 | 1 | 0 | 0 |
3 | 0.6 | 0.36 | 0.8 | -0.22314 | -0.133886 |
4 | 2 | 4 | 0.6 | -0.51083 | -1.021651 |
5 | 2.9 | 8.41 | 0.5 | -0.69315 | -2.010127 |
4.1 | 16.17 | - | -0.95711 | -4.011671 |
Отримуємо систему
16.17 А + 4.1 В = -4.01167
4.1 А + 5 В= -0.95711
Вирішуючи систему рівнянь, знайдемо А та В.
Виразимо коефіцієнт В з 2-го рівняння системи
Підставимо В у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо
16.17 А + 4.1 (-0191422 - 0.82А) = - 4.01167 ,
Знайдемо коефіцієнти:
,
В
Вертаючись до вихідних коефіцієнтів , одержимо
а = А = , в = еВ = е0.15168 =1.163788
Зазначена залежність
у = 1.163788. е- 0.251939 х
2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності
вихідні дані | результат | ||
х | Утаб | Урас | Відхил |
-1.8 | 1.6 | 1.83156 | 0.053622 |
0.4 | 1 | 1.05222 | 0.002727 |
0.6 | 0.8 | 1.00052 | 0.040207 |
2 | 0.6 | 0.70314 | 0.010638 |
2.9 | 0.5 | 0.56049 | 0.003659 |
|
| 0.11853 |
Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х
Урас1=1.163788. е- 0.251939 .(-1.8) =1.83156
………………………………………………….
Урас5=1.163788. е- 0.251939 . 2.9 =0.56049
Відхилення:
Відхил1=( Утаб1 - Урас1)2 =0.053622
...........................................................................
Відхил5=( Утаб5 - Урас5)2 =0.003659
Використання Excel для развязку лабораторної роботи №2
(експонентна модель у = в еа х)
Побудуємо таблицю:
х | Утаб | x*x | Ln(Утаб) | x*y | Урас | Відхил |
|
-1,8 | 1,6 | 3,24 | 0,470003629 | -0,846007 | 1,597762 | 5,00696E-06 |
|
0,4 | 1 | 0,16 | 0 | 0 | 0,917983 | 0,006726707 |
|
0,6 | 0,8 | 0,36 | -0,223143551 | -0,133886 | 0,872881 | 0,005311663 |
|
2 | 0,6 | 4 | -0,510825624 | -1,021651 | 0,613475 | 0,000181574 |
|
2,9 | 0,5 | 8,41 | -0,693147181 | -2,010127 | 0,489033 | 0,000120281 |
|
4,1 | 4,5 | 16,17 | -0,957112726 | -4,011671 |
| 0,012345232 |
|
-
Побудуємо графік, застосовуючи Excel
4) Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовує Excel (команда «Пошук рішення»).
Начальні значення коефіцієнтів
а= | 1 |
в= | 1 |
Отримані значення
а= | -0,25275 |
| ||||
в= | 1,0175 |
| ||||
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам | ||||||
Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1 | ||||||
Отчет создан: 18.09.2009 14:16:15 |
| |||||
Целевая ячейка (Минимум) |
|
| ||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $H$193 | cymma: Отклонения | 361,8117 | 0,012305 | ||
Изменяемые ячейки |
|
|
| |||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $M$192 | a= Утаб | 1 | -0,25275 | ||
| $M$193 | b= Утаб | 1 | 1,0175 |
- Питання до модульного контролю 1 з дисципліни
- Питання до модульного контролю 2 з дисципліни
- Текстовий редактор. Редактор формул.
- Панель Programming
- Панель Symbolic.
- 1.1.2. Створення й використання простих формул 7
- 1. 1.3. Абсолютні й відносні адреси чарунок 7
- 4. Лабораторна робота №4 „Основні прийоми роботи в Системе MathCad” 37
- 5.1.3. Метод ітерацій. 52
- 5.1.4. Метод Зейделя. 53
- 1.1. Теоретичні відомості
- 1.1. 1.Основні поняття електронних таблиць
- 1.1.2. Створення й використання простих формул
- 1. 1.3. Абсолютні й відносні адреси чарунок
- Рекомендації й вимоги до виконання завдання 2
- Питання для самоперевірки
- 2. Лабораторна робота №2 „Побудувати рівняння моделі методом найменших квадратів.”
- 2.1. Теоретичні відомості
- 2.2. Приклад виконання лабораторної роботи №2
- 2.3.Завдання до лабораторної роботи №2
- Питання для самоперевірки
- 3.1.Теоретичні відомості .
- 3.1.1. Постановка задачі.
- Метод Ньютона (дотичних).
- 3.2. Приклад виконання лабораторної роботи №3
- 3. 3. Завдання до лабораторної роботи №3
- 3.4. Використання Excel для развязку лабораторної роботи №3
- Питання для самоперевірки
- 4.1. Теоретичні відомості
- 4.1.1. Призначення MathCad. Стандартний інтерфейс.
- 4.1.2. Панель інструментів Математика(Math).
- 4.1.3. Текстовий редактор.
- 4.1.4. Редактор формул.
- 4.1.6. Користувальницькі й стандартні функції.
- 4.1.7. Побудова графіків.
- 4.1.8. Робота з векторами й матрицями.
- Обчислення визначника;
- 4.1.9. Панель Programming.
- 4.1.10. Панель Symbolic.
- 4. 2. Завдання та приклад виконання лабораторної роботи №4 Зробить завдання по наведеному зразку
- Питання для самоперевірки
- Використовувана література.
- 5.1. Теоретичні відомості
- 5.1.1. Норма вектора. Норма матриці.
- 5.1.2. Приведення системи до виду зручному для ітерацій.
- 5.1.3. Метод ітерацій.
- 5.1.4. Метод Зейделя.
- 5.2. Приклад виконання лабораторної роботи №5
- 5.3. Завдання до лабораторної роботи №5
- Питання для самоперевірки
- Використовувана література
- 6.1.Теоретичні відомості
- 6.1.1. Постановка задачі.
- 6.1.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- 6.1.2.1. Погрішність інтерполяції.
- Інтерполяційний многочлен Лагранжа з рівновіддаленими вузлами.
- 6.1.3. Інтерполяційний многочлен Ньютона
- 6.1.3.1. Кінцеві різниці.
- 6.1.3.2. Формула Ньютона для інтерполяції «вперед».
- 6.1.3.3. Формула Ньютона для інтерполяції «назад».
- 6.2. Приклад виконання лабораторної роботи №6
- 6.3. Завдання до лабораторної роботи №6
- Питання для самоперевірки
- Література, що використовується
- 7. Лабораторна робота №7 „Рішення задачі лінійного програмування. ”
- 7.1. Теоретичні відомості
- 7.1.1. Постановка задачі.
- 7.1.2. Геометричний метод рішення.
- 7.1.3. Симплексний метод рішення.
- 7.1.4. Алгоритм симплексного методу.
- 7.2. Приклад виконання лабораторної роботи №7
- Задачі лінійного програмування
- 7.3. Завдання до лабораторної роботи №7
- Питання для самоперевірки
- Використовувана література
- 8. Список літератури
- Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни
- Для студентів денної форми навчання напряму підготовки
- 6.051301 „Хімічна технологія”.
- 1 Семестр.