logo
MV_OMP_LR_1sem_Dmitrienko

2.2. Приклад виконання лабораторної роботи №2

Задані результати дослідів: (x,y):

  1. Знайти коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших квадратів.

  2. Знайти відхилення даних точок від знайденої залежності.

  3. Побудувати графік, застосовує Excel .

  4. Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).

x

-1,8

0,4

0,6

2

2,9

y

1,6

1

0,8

0,6

0,5

  1. Побудуємо лінійну модель у = ах+в

1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших

квадратів.Треба за зазначеною формулою у = ах+в підібрати коефіцієнти

модели а і в

Побудуємо таблицу:

n

x

x2

y

xy

1

-1.8

3.24

1.6

-2.88

2

0.4

0.16

1

0.4

3

0.6

0.36

0.8

0.48

4

2

4

0.6

1.2

5

2.9

8.41

0.5

1.45

4.1

16.17

4.5

0.65

Отримуємо систему

16.17 а + 4.1 в = 0.65

4.1 а + 5 в = 4.5

Вирішуючи систему, знайдемо а і в.

Виразимо коефіцієнт в з 2-го рівняння системи

в =

Підставимо в у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо

16.17а+4.1(0.9-0.82а) = 0.65 ,

Знайдемо коефіцієнти:

,

1.09457

Зазначена залежність

у = - 0.23728 х + 1. 09457

2) Знайдемо відхилення даних точок від знайденої залежності

вихідні дані

результат

х

Утаб

Урас

Відхил

-1.8

1.6

1.521861

0.006106

0.4

1

0.999688

9.75E-08

0.6

0.8

0.952217

0.02317

2

0.6

0.619925

0.000397

2.9

0.5

0.406309

0.008778

0.038451

Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х

Урас1 = - 0.23728 (-1.8) + 1. 09457 = 1.521861

………………………………………………….

Урас5 = - 0.23728 (0.5) + 1. 09457 = 0.406309

Відхилення:

Відхил1 =( Утаб1 - Урас1)2 = 0.006106

...........................................................................

Відхил5 =( Утаб5 - Урас5)2 =0.008778

Використання Excel для разв'язку лабораторної роботи №2

(лінійна модель у = ах+в )

Побудуємо таблицю:

х

Утаб

x*x

x*y

Урозр

Відхілення

-1,8

1,6

3,24

-2,88

1,5218613

0,006106

0,4

1

0,16

0,4

0,9996877

9,75E-08

0,6

0,8

0,36

0,48

0,9522174

0,02317

2

0,6

4

1,2

0,6199251

0,000397

2,9

0,5

8,41

1,45

0,4063086

0,008778

4,1

4,5

16,17

0,65

0,038451

3) Побудуємо графік, застосовує Excel

  1. Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).

Начальні значення коефіцієнтів

а=

1

в=

1

Отримані значення

а=

-0,23735

в=

1,094628

Отчет создан: 05.11.2007 14:13:03

Целевая ячейка (Минимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$J$15

Отклонения

23,88

0,038450968

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$H$1

а

1

-0,23735163

$H$2

в 

1

1,09462834

  1. Побудуємо квадратичну модель у = ах2+вх+с

1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших

квадратів. Треба за зазначеною формулою у = ах2+вх+с підібрати

коефіцієнти модели а , в ,с.

Побудуємо таблицю:

n

x

x2

y

xy

х3

х4

уx2

1

-1.8

3.24

1.6

-2.88

-5.832

10.4976

5.184

2

0.4

0.16

1

0.4

0.064

0,0256

0.16

3

0.6

0.36

0.8

0.48

0.216

0.1296

0.288

4

2

4

0.6

1.2

8

16

2.4

5

2.9

8.41

0.5

1.45

24.389

70.728

4.205

4.1

16.17

4.5

0.65

26.837

97.3809

12.237

Отримуємо систему

97.3809 а + 26.837 в + 16.17 с = 12.237

26.8374.1 а + 16.17 в + 4.1 с = 0.65

16.17 а +4.1 в +5 с =4.5

Виразимо коефіцієнт с з 3-го рівняння системи,

с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в

Підставимо с у перше й друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :

45.08712 а + 13.5776 в = - 2.316

13.5776 а + 12.808 в = - 3.04

с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в

Виразимо коефіцієнт а з 1-его рівняння системи

а = - 0.30114 в – 0.05143

Підставимо а у друге рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо систему :

8.579936 в = - 2.341704

а = - 0.30114 в – 0.05143

с = 0.9 – 3.234 а – 0.82 в

Знайдемо коефіцієнти:

в = - 0.272928

а = - 0,30114. (- 0.272928 ) – 0.05143 = 0.03076

с = 0.9 – 3.234 . 0.03076 – 0.82 . (- 0.272928 )= 1.02432

Зазначена залежність

у = 0.03076х2- 0.272928х+1.02432

2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності

вихідні дані

результат

х

Утаб

Урас

Відхил

-1.8

1.6

1.615425

0.00158

0.4

1

0.99607

0.002789

0.6

0.8

0.87562

0.003527

2

0.6

0.602714

0.0001287

2.9

0.5

0.49458

0.0005741

0.086008

Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х

Урас1 = 0.03076(-1.8)2- 0.272928(-1.8)+1.02432 =1.615425 ………………………………………………….

Урас 5 = 0.03076 (0.4)2- 0.272928(0.4)+1.02432 =0.99607

Відхилення:

Відхил 1 = ( Утаб1 - Урас1)2 =0.00158

...........................................................................

Відхил 5 = ( Утаб5 - Урас5)2 =0.0005741

Використання Excel для разв’язку лабораторної роботи №2

(квадратична модель у = ах2+вх+с )

Побудуємо таблицю:

х

Утаб

x*x

x*x*x

x*x*x*x

x*y

x*x*y

Урас

Відхил

-1,8

1,6

3,24

-5,832

10,4976

-2,88

5,184

1,615253

0,000233

0,4

1

0,16

0,064

0,0256

0,4

0,16

0,92007

0,006389

0,6

0,8

0,36

0,216

0,1296

0,48

0,288

0,871637

0,005132

2

0,6

4

8

16

1,2

2,4

0,601504

2,26E-06

2,9

0,5

8,41

24,389

70,7281

1,45

4,205

0,49152

7,19E-05

4,1

4,5

16,17

26,837

97,3809

0,65

12,24

0,011827

3) Побудуємо графік, застосовуючи Excel

4) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності, застосовуючи Excel (команда «Пошук рішення»).

Начальні значення коефіцієнтів

а=

1

в=

1

с=

1

Отримані значення

а=

0.029539125

в=

-0.268665784

с=

1,024776224

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам

Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1

Отчет создан: 18.09.2009 14:27:14

Целевая ячейка (Минимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$J$180

cymma: Отклонения

182,8009

0,011668809

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$F$183

a=

1

0,029539125

$F$184

b=

1

-0,268665784

$F$185

с=

1

1,024776224

Ограничения

НЕТ

3. Побудуємо експонентну модель у = в еа х

1) Знайдемо коефіцієнти зазначеної залежності методом найменших

квадратів.Треба за зазначеною формулою у = в еа х підібрати коефіцієнти

модели а і в

Побудуємо таблицю:

n

x

x2

y

У=LN(y)

1

-1.8

3.24

1.6

0.470004

-0.84007

2

0.4

0.16

1

0

0

3

0.6

0.36

0.8

-0.22314

-0.133886

4

2

4

0.6

-0.51083

-1.021651

5

2.9

8.41

0.5

-0.69315

-2.010127

4.1

16.17

-

-0.95711

-4.011671

Отримуємо систему

16.17 А + 4.1 В = -4.01167

4.1 А + 5 В= -0.95711

Вирішуючи систему рівнянь, знайдемо А та В.

Виразимо коефіцієнт В з 2-го рівняння системи

Підставимо В у перше рівняння. Розкриємо дужки й приведемо подібні члени. Отримуємо

16.17 А + 4.1 (-0191422 - 0.82А) = - 4.01167 ,

Знайдемо коефіцієнти:

,

В

Вертаючись до вихідних коефіцієнтів , одержимо

а = А = , в = еВ = е0.15168 =1.163788

Зазначена залежність

у = 1.163788. е- 0.251939 х

2) Знайти відхилення даних точок от знайденої залежності

вихідні дані

результат

х

Утаб

Урас

Відхил

-1.8

1.6

1.83156

0.053622

0.4

1

1.05222

0.002727

0.6

0.8

1.00052

0.040207

2

0.6

0.70314

0.010638

2.9

0.5

0.56049

0.003659

0.11853

Урас визначаються по моделі шляхом підстановки табличних значень із першого стовпця замість х

Урас1=1.163788. е- 0.251939 .(-1.8) =1.83156

………………………………………………….

Урас5=1.163788. е- 0.251939 . 2.9 =0.56049

Відхилення:

Відхил1=( Утаб1 - Урас1)2 =0.053622

...........................................................................

Відхил5=( Утаб5 - Урас5)2 =0.003659

Використання Excel для развязку лабораторної роботи №2

(експонентна модель у = в еа х)

Побудуємо таблицю:

х

Утаб

x*x

Ln(Утаб)

x*y

Урас

Відхил

-1,8

1,6

3,24

0,470003629

-0,846007

1,597762

5,00696E-06

0,4

1

0,16

0

0

0,917983

0,006726707

0,6

0,8

0,36

-0,223143551

-0,133886

0,872881

0,005311663

2

0,6

4

-0,510825624

-1,021651

0,613475

0,000181574

2,9

0,5

8,41

-0,693147181

-2,010127

0,489033

0,000120281

4,1

4,5

16,17

-0,957112726

-4,011671

0,012345232

  1. Побудуємо графік, застосовуючи Excel

4) Знайти коефіцієнти зазначеної залежності, застосовує Excel (команда «Пошук рішення»).

Начальні значення коефіцієнтів

а=

1

в=

1

Отримані значення

а=

-0,25275

в=

1,0175

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам

Рабочий лист: [метод наим.квад.xls]Лист1

Отчет создан: 18.09.2009 14:16:15

Целевая ячейка (Минимум)

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$H$193

cymma: Отклонения

361,8117

0,012305

Изменяемые ячейки

Ячейка

Имя

Исходное значение

Результат

$M$192

a= Утаб

1

-0,25275

$M$193

b= Утаб

1

1,0175