Метод Ньютона (дотичних).

Хай [а, b] відрізок, що містить ізольований корінь рівняння і функція , неперервна на [а, b] разом з першою і другою похідними, причому обидві похідні зберігають постійний знак. Розглянемо окремий випадок.

Хай: ;;;

Рис. 3.3. Геометрична інтерпретація методу дотичних

В якості вибираємо точку відрізка [а, b], для якої виконана умова, тобто знак функції в точці співпадає із знаком другої похідної. (на прикладі ). В точці В () проведемо дотичну до кривої .

Як 1-е наближення виберемо абсцису точки перетину дотичної з віссю 0х . В точці В1 () проводимо дотичну і в якості вибираємо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох і т.д. В точці В_n() проводимо дотичну:

Абсциса точки перетину цієї дотичної з віссю Ох дає наближення, тобто підставляючи в рівняння (3), отримаємо .

Th. Нехай безперервна разом з і на відрізку [а,b], що містить єдиний корінь рівняння (1) і обидва похідні зберігають на [а, b] постійний знак. Тоді, виходячи з нульового наближення, що задовольняє умові, можна знайти, використовуючи метод Ньютона, наближене рішення з будь-яким степенем точності.

Похибку наближеного рішення , отриманого по методу Ньютона, визначається формулою:

, де , .