Дифференцирование сложной функции.

Если z = f(x; у) — дифференцируемая в точке М(х;у)D функция и х = x(t) и у =y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

4. Дифференцирование неявной функции.

Пусть уравнение определяеткак неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример:.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Касательная плоскость к поверхностив её точке(точка касания) есть плоскость, проходящая черези содержащая в себе все касательные, проведённые в точкеко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку

Нормалью к поверхностив точкеназывается прямая, проходящая через точкуи перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Уравнение касательная плоскости и нормали к поверхности.

6. Производная по направлению.

Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение=cosa +cosb +cosg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора

7. Градиент функции.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция. Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называетсяградиентом функциии обозначаетсяили(читается «набла у»):

При этом говорят, что в областиопределено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точкеиспользуют формулу:.

Свойства градиента

1.Производная в данной точке по направлению вектораимеет наибольшее значение, если направление векторасовпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно.

2.Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору, равна нулю.