Правило Лопиталя.

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки, то

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

ТЕМА 2. Исследование функций с помощью производных.

1. Условие возрастания и убывания функций. Признак монотонности функции.

Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x 1)<f(x2).

Функция f(x) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство  f(x 1)>f(x2).

Для того, чтобы дифференц. на интервале (а, b) функцияy=f(x) возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производнаяf’(x)>0∀x ∈(а,b) иf’(x)<0∀x ∈(а,b)

2. Точки экстремума функции одной переменной.

Точка Xo называется точкой локального экстремума функции f(x), если значение f(Xo) является наибольшим/наименьшим значением функции f(x) в некоторой σ-окрестности т. Xo. При этом, само значение f(Xo) называется локальным экстремумом функции y=f(x)

• Если f(Xo)> f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – max

• Если f(Xo)< f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – min

3. Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Если функция y=f(x) имеет экстремум в т. X=Xo, то производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

4. Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности точкиXoи имеет в ней производную за исключением, быть может, самой точки.

Если при

X<Xo:f’(x)>0

X>Xo:f’(x)<0

Тогда т. Xoявляется точкой локальногоmax.

Если при

X<Xo:f’(x)<0

X>Xo:f’(x)>0

Тогда т. Xoявляется точкой локальногоmin.

5. Второе и третье достаточные условия экстремума функций одной переменной.

Второе.Пустьf’(Xo)=0 , аf’’(Xo)≠0, тогда

• Если f’’(Xo)>0, то точкаXo– точка локальногоmin

• Если f’’(Xo)<0, то точкаXo– точка локальногоmax

Третье.Еслиf’(Xo)=f’’(Xo)=…=f^(k-1)(Xo)=0, аf^(k)(Xo) ≠0, тогда

• Если k=2(четное) иf^(k)(Xo)>0, то точкаXo– точка локальногоmin

• Если k=2(четное) иf^(k)(Xo)<0, то точкаXo– точка локальногоmax

• Если k=3(нечетное), то экстремумов нет.

6. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функции. Теорема о существовании выпуклости, вогнутости.

Кривая называется выпуклой (вогнутой), если все точки этой кривой расположены ниже (выше) любой касательной, проведённой к этой кривой

Пусть функция y=f(x) в некоторой окрестности т.Xoи дважды дифферен. в этой точке. Тогда если при переходе через эту точкуf’’(x) меняет свой знак, то точкаXoназываетсяточкой перегиба(в этой точке выпуклость меняется на вогнутость).

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство (), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.